LES PRINCIPES DU CALCUL INFINITÉSIMAL (1)
Ed. Gallimard, París 1946

La exposición de Les Principes du Calcul infinitésimal que se presenta aquí no es un comentario de texto, ni tampoco a modo de una reseña, es un extracto de esta obra que sigue el orden de la misma intentando recoger las cuestiones que trata, así como los conceptos y nociones que examina.

Comienza pues por el Prefacio, diciendo:

"Aunque el presente estudio pueda parecer, a primera vista al menos, no tener sino un carácter un tanto 'especial', nos ha parecido útil emprenderlo para precisar y explicar de manera más completa algunas nociones sobre las que hemos llamado la atención en las diversas ocasiones en las que hemos hecho uso del simbolismo matemático, y esta razón bastaría para justificarlo sin que haya lugar a insistir más sobre ello. Sin embargo, debemos decir que a ésta se añaden otras razones secundarias que conciernen sobre todo a lo que podría llamarse el lado 'histórico' del asunto; éste, en efecto, no es totalmente carente de interés desde nuestro punto de vista, en el sentido de que todas las discusiones que se han suscitado respecto de la naturaleza y el valor del cálculo infinitesimal ofrecen un ejemplo evidente de esa ausencia de principios que caracteriza a las ciencias profanas, es decir las únicas ciencias que los modernos conocen y que incluso conciben como posibles. A menudo hemos subrayado ya, que la mayor parte de estas ciencias, incluso en la medida que corresponden todavía a alguna realidad, no representan más que simples residuos desnaturalizados de algunas de las antiguas ciencias tradicionales: siendo la parte más inferior de éstas la que, habiendo dejado de ser puesta en relación con los principios y habiendo perdido por ello su verdadero significado original, ha acabado por tomar un desarrollo independiente y ser vista como un conocimiento que se basta a sí mismo, aunque, en verdad, su propio valor como conocimiento se halla reducido precisamente por ello mismo a casi nada."

"... Los matemáticos, en la época moderna, y más particularmente todavía en la época contemporánea, parecen haber llegado a ignorar lo que es verdaderamente el número; y no hablamos solamente aquí del número tomado en sentido analógico y simbólico como lo entendían los Pitagóricos y los Cabalistas, lo que es demasiado evidente, sino incluso, lo que puede parecer más extraño y casi paradójico, del número en su acepción simple y propiamente cuantitativa. En efecto, reducen toda su ciencia al cálculo, según la concepción más estrecha que se pueda hacer de él, es decir la consideran como un simple conjunto de procedimientos más o menos artificiales que no valen, en suma, más que por las aplicaciones prácticas a las que dan lugar; en el fondo, esto equivale a decir que reemplazan el número por la cifra, ... Ahora bien, la cifra no es, hablando con todo rigor, nada más que el vestido del número; no decimos, incluso, su cuerpo, pues es más bien la forma geométrica la que, en ciertos aspectos, puede ser considerada legítimamente como constitutiva del verdadero cuerpo del número, como lo muestran las teorías de los antiguos sobre los polígonos y los poliedros, puestos en relación directa con el simbolismo de los números; ... Sin embargo, no queremos decir que las cifras sean signos enteramente arbitrarios, ... debe haber caracteres numéricos como caracteres alfabéticos, de los cuales por otra parte no se distinguen en ciertas lenguas, y puede aplicarse a los unos tanto como a los otros la noción de un origen jeroglífico, es decir ideográfico o simbólico, que vale para todas las escrituras sin excepción, por muy disimulado que este origen pueda estar, en ciertos casos, por deformaciones o alteraciones más o menos recientes."

"Lo cierto es que los matemáticos emplean, en sus algoritmos, símbolos de los cuales no conocen ya el sentido, y que son como vestigios de tradiciones olvidadas; ... tienden cada vez más a ver todo sistema de signos como una simple 'convención', entendiendo por esto algo que es establecido de una manera totalmente arbitraria, lo cual en el fondo es una verdadera imposibilidad, pues no se hace nunca convención alguna sin tener alguna razón para hacerla, y hacer precisamente ésta más bien que cualquier otra; solamente puede parecer arbitraria dicha convención a aquellos que ignoran esta razón, ... esto es lo que sucede aquí, y que nos muestra una de las consecuencias más extremas de la ausencia de todo principio, llegando hasta hacer perder a la ciencia, o a la tal susodicha, ya que entonces no merece verdaderamente este nombre bajo ningún concepto, toda significación plausible. ... Desde este punto de vista, solamente añadiremos que, cuando se pierde de vista de tal manera el sentido de una notación, es muy fácil pasar del uso legítimo y válido de ésta a un uso ilegítimo, que no corresponde efectivamente a nada, y que puede ser a veces totalmente ilógico; lo que tratándose de una ciencia como las matemáticas, que debería tener con la lógica lazos particularmente estrechos, puede parecer sorprendente, y sin embargo es totalmente cierto que se puede descubrir múltiples sentidos ilógicos en las nociones matemáticas tal como se las contempla comúnmente en nuestra época."

"Uno de los ejemplos más notables de estas nociones ilógicas, y el que tendremos que considerar aquí ante todo, es el del pretendido infinito matemático o cuantitativo, que es la fuente de casi todas las dificultades que han sido promovidas contra el cálculo infinitesimal, o, quizá más exactamente, contra el método infinitesimal, pues hay algo aquí que ... va más allá del alcance de un simple 'cálculo' en el sentido ordinario de esta palabra; no hay excepción que valga salvo para aquellas de dichas dificultades que provienen de una concepción errónea o insuficiente de la noción de 'límite', indispensable para justificar el rigor de este método infinitesimal y hacer de él otra cosa que un simple método de aproximación. Por otra parte, hay que hacer una distinción, como veremos, entre los casos en los cuales el susodicho infinito no expresa sino un absurdo puro y simple, es decir una idea contradictoria en sí misma, como la de 'número infinito', y aquellos en los que está empleado solamente, de una manera abusiva, en el sentido de indefinido; pero no habría que creer por esto que la propia confusión entre lo infinito y lo indefinido se reduzca a una simple cuestión de palabras, pues ella incumbe verdaderamente a las ideas mismas. Lo curioso es que esta confusión ... haya sido cometida por el propio Leibnitz, que generalmente es considerado como el inventor del cálculo infinitesimal, y que nosotros llamaríamos más bien su 'formulador', pues este método corresponde a ciertas realidades que, como tales, tienen una existencia independiente de aquel que las concibe y expresa con más o menos perfección; las realidades de orden matemático no pueden, como todas las demás, sino ser descubiertas, y no inventadas, ... pero ciertamente sería muy difícil hacer comprender esta diferencia a matemáticos que se imaginan de buena gana que toda su ciencia no es y no debe ser nada más que una 'construcción del espíritu humano', lo cual, si hubiera que creerles al respecto, ¡la reduciría ciertamente a ser bien poca cosa en verdad! Como quiera que sea, Leibnitz no supo nunca explicarse claramente sobre los principios de su cálculo, y esto es precisamente lo que indica que había en ello algo que le sobrepasaba y que en cierto modo se le imponía sin que tuviera conciencia de ello ..."

"... si constatamos tales insuficiencias en Leibnitz, e insuficiencias tanto más graves cuanto que incumben sobre todo a las cuestiones de principios, ¿qué será al respecto de los otros filósofos y matemáticos modernos, a los que es ciertamente muy superior a pesar de todo? Esta superioridad la debe, por una parte, al estudio que había hecho de las doctrinas escolásticas de la Edad Media, aunque no siempre las haya entendido completamente, y, por otra parte, a ciertas ideas esotéricas, de origen o de inspiración principalmente rosacruz¹, ideas evidentemente muy incompletas e incluso fragmentarias, y que aplicaba además a veces bastante mal, como veremos algunos ejemplos en este mismo estudio; es a estas dos 'fuentes', hablando como los historiadores, que conviene remitir en definitiva, poco más o menos, todo lo que hay de realmente válido en sus teorías, y esto es también lo que le permite reaccionar, aunque imperfectamente, contra el cartesianismo, que representaba entonces, en el doble campo filosófico y científico, todo el conjunto de tendencias y concepciones más específicamente modernas. Esta observación basta para explicar, en pocas palabras, todo lo que hizo Leibnitz, y, si queremos entenderle, no habría que perder de vista nunca estas indicaciones generales, que hemos creído oportuno, por esta razón, formular desde el comienzo; pero es hora de dejar estas consideraciones preliminares para entrar en el examen de las cuestiones que nos permitirán determinar el verdadero significado del cálculo infinitesimal."

¹ "La marca innegable de este origen se encuentra en la figura hermética colocada por Leibnitz en el encabezamiento de su tratado De Arte combinatoria: es una representación de la Rota Mundi, en la cual, en el centro de la doble cruz de los elementos (fuego y agua, aire y tierra) y de las cualidades (calor y frío, seco y húmedo), la quinta essentia está simbolizada por una rosa de cinco pétalos (correspondiente al éter considerado en sí mismo y como principio de los otros cuatro elementos); ¡naturalmente, esta 'firma' ha pasado completamente desapercibida a todos los comentaristas universitarios!"

Expuestas así las razones de la obra, y adentrándose ya en la misma, Guénon indica antes de nada el procedimiento de trabajo a seguir en la misma:

"Procediendo en cierto modo en sentido inverso a la ciencia profana, debemos, siguiendo el punto de vista constante de toda ciencia tradicional, establecer aquí antes de nada el principio que nos permitirá resolver a continuación, de una manera casi inmediata, las dificultades que ha suscitado el método infinitesimal, sin dejarnos alejar de él en discusiones que de otra manera correrían el riesgo de ser interminables, como lo son en efecto para los filósofos y los matemáticos modernos, quienes, por esto mismo que les falta el principio, no han llegado nunca a aportar una solución satisfactoria y definitiva a estas dificultades. Este principio es la idea misma de lo Infinito entendido en su único verdadero sentido, que es el sentido puramente metafísico... lo Infinito es propiamente lo que no tiene límites, ya que finito es evidentemente sinónimo de limitado; no se puede pues, sin incurrir en abuso, aplicar esta palabra a otra cosa que a aquello que no tiene absolutamente ningún límite, es decir al Todo universal que incluye en sí todas las posibilidades, y que, por consiguiente, no puede ser de ninguna manera limitado sea por lo que sea; lo Infinito, entendido así, es metafísicamente y lógicamente necesario, pues no solamente no puede implicar ninguna contradicción, no conteniendo en sí nada negativo, sino que es por el contrario su negación la que sería contradictoria..."

"Es cierto que los escolásticos admitían lo que llamaban infinitum secundum quid, que distinguían cuidadosamente del infinitum absolutum el único que es lo Infinito metafísico; pero no podemos ver aquí sino una imperfección de su terminología, ya que... este doble empleo de la palabra infinitum corría el riesgo de causar múltiples confusiones, y que por otra parte uno de los dos sentidos que le daban era totalmente impropio, ya que decir que algo es infinito solamente bajo cierto aspecto, lo cual es el significado exacto de la expresión infinitum secundum quid, es decir que en realidad no es en modo alguno infinito. En efecto, no es porque una cosa no sea limitada en un cierto sentido o bajo un cierto aspecto que se puede legítimamente inferir que no es en modo alguno limitada, lo cual sería necesario para que fuera verdaderamente infinita; no solamente puede ser al mismo tiempo limitada bajo otros aspectos, sino que incluso podemos decir que lo es necesariamente desde el momento que es una cosa determinada, y que por su misma determinación no incluye toda posibilidad, pues esto mismo vuelve a indicar que es limitada por lo que deja fuera de ella; si por el contrario el Todo universal es infinito, es precisamente porque no deja nada fuera de él¹. Toda determinación, por general que se la suponga, y sea cual sea la extensión que pueda tomar, es pues necesariamente excluyente de la verdadera noción de infinito²; una determinación, cualquiera que sea, es siempre una limitación, ya que tiene como característica esencial definir un cierto dominio de posibilidades con relación a todo el resto, y por ello mismo excluyendo de ella este resto. Así, es un verdadero absurdo aplicar la idea de infinito a una determinación cualquiera, por ejemplo... a la cantidad o a cualquiera de sus formas; la idea de un 'infinito determinado' es tan manifiestamente contradictoria como para que no haya lugar a insistir más, aunque esta contradicción haya escapado al pensamiento profano de los modernos las más de las veces, y aunque incluso aquellos que podríamos llamar 'semiprofanos', como Leibnitz, no hayan sabido percibirla claramente..."

¹ "Se puede decir aún que no deja fuera de él más que la imposibilidad, la cual, al ser una pura nada, no podría de ninguna manera limitarlo."

² "Esto es igualmente cierto para las determinaciones de orden universal, y no ya simplemente general, incluido aquí el Ser mismo que es la primera de todas las determinaciones; pero va de suyo que esta consideración no tiene por qué intervenir en las aplicaciones únicamente cosmogónicas con las cuales tenemos que tratar en el presente estudio."

"Lo que acabamos de decir basta para establecer, sin dejar lugar a la menor duda, y sin que sea necesario tomar en cuenta ninguna otra consideración, que no puede haber infinito matemático o cuantitativo... ya que la cantidad misma es una determinación; el número, el espacio, el tiempo, a los cuales se quiere aplicar la noción de este pretendido infinito, son condiciones determinadas, y que, como tales, no pueden ser sino finitas; son ciertas posibilidades, o cierto conjunto de posibilidades, al lado y fuera de las cuales existen otras, lo que implica evidentemente su limitación... concebir lo Infinito cuantitativamente, no es solo limitarlo, sino que es además concebirlo como susceptible de aumento o de disminución, lo cual no es menos absurdo..."

"... todas las discusiones entre 'finitistas' e 'infinitistas' dejan bien a las claras que unos y otros tienen al menos en común esta idea completamente falsa de que lo Infinito metafísico es solidario del infinito matemático, si no se le identifica pura y simplemente. Todos ignoran pues igualmente los principios más elementales de la metafísica, ya que es, al contrario, la concepción misma del verdadero Infinito metafísico, la única que permite rechazar de una forma absoluta todo 'infinito particular', si así se puede decir, tal el pretendido infinito cuantitativo... En suma, todas las veces que se trate de una cosa particular, de una posibilidad determinada, estamos por ello mismo seguros a priori que es limitada, y, podemos decir, limitada por su misma naturaleza, y esto es igualmente verdadero en los casos en los cuales, por cualquier razón, no podemos actualmente alcanzar sus límites; pero es precisamente esta imposibilidad de alcanzar los límites de ciertas cosas, e incluso a veces de concebirlas claramente, la que causa, al menos en aquellos en quienes falta el principio metafísico, la ilusión de que estas cosas no tienen límites, y... es esta ilusión, y nada más, la que se formula en la afirmación contradictoria de un 'infinito determinado'.

"Aquí es cuando interviene, para rectificar esta falsa noción, o más bien para reemplazarla por una concepción verdadera de las cosas, la idea de lo indefinido, que es precisamente la idea de un desarrollo de las posibilidades de las que no podemos alcanzar actualmente los límites; y esto es por lo que vemos como fundamental, en todas las cuestiones en las que aparece el pretendido infinito matemático, la distinción entre lo Infinito y lo indefinido. Es sin duda a esto que respondía, en la intención de sus autores, la distinción escolástica del infinitum absolutum y del infinitum secundum quid; es ciertamente enojoso que Leibnitz, quien por otra parte ha tomado prestadas sin embargo tantas cosas a la escolástica, haya descuidado o ignorado ésta, ya que, por muy imperfecta que fuera la forma bajo la cual era expresada, le hubiera podido servir para responder bastante fácilmente a algunas de las objeciones promovidas contra su método..."

" ... Decimos que lo indefinido no puede ser infinito, porque su concepto lleva consigo siempre una cierta determinación, ya se trate de la extensión, de la duración, de la divisibilidad, o de cualquier otra posibilidad que sea; en una palabra, lo indefinido, cualquiera que sea y bajo cualquier aspecto que se lo contemple, pertenece a lo finito y no puede ser más que finito. Sin duda, los límites están retirados en él hasta encontrarse fuera de nuestro alcance... pero no están en modo alguno suprimidos por ello... ya que es en virtud de su naturaleza, y no simplemente de alguna circunstancia más o menos exterior y accidental, que toda cosa particular es finita, sea cual sea el grado al que puede ser llevada efectivamente la extensión de la que es susceptible... Lo cual quiere decir que... mientras que lo finito presupone necesariamente lo Infinito, puesto que es éste último lo que comprende y encierra todas las posibilidades, lo indefinido procede al contrario de lo finito, de lo cual no es en realidad sino un desarrollo, y a lo cual, por consiguiente, se puede siempre reducir, ya que es evidente que de lo finito no se puede sacar, por el proceso que sea, nada más, ni otra cosa, que lo que ya estaba ahí contenido potencialmente".

Guénon expone a continuación, 'para hacer comprender mejor la idea del indefinido y la manera en que se forma a partir de lo finito', un ejemplo, el de la serie de los números:

"... en ésta, no es posible nunca pararse en un punto determinado, puesto que, después de todo número, hay siempre otro que se obtiene añadiéndole la unidad; por consiguiente, es necesario que la limitación de esta serie indefinida sea de otro orden que la que se aplica a un conjunto definido de números, tomados entre dos números determinados cualesquiera; hace falta pues que ella no dependa de las propiedades particulares de ciertos números, sino que dependa de la naturaleza misma del número en toda su generalidad, es decir de la determinación que, constituyendo esencialmente esta naturaleza, hace a la vez que el número sea lo que es y que no sea otra cosa totalmente diferente. Se podría repetir exactamente la misma observación si se tratara, no ya del número, sino del espacio o del tiempo considerados igualmente en toda la extensión de la que son susceptibles; esta extensión, por muy indefinida que se la conciba y que sea efectivamente, no podrá nunca en modo alguno hacernos salir del finito... esta serie, con toda la [indefinitud] que lleva consigo, nos viene dada por su ley de formación, puesto que es de esta ley de donde resulta inmediatamente su [indefinitud]; ahora bien esta ley consiste en que, dado un número cualquiera, el número siguiente se formará añadiéndole la unidad. La serie de los números se forma pues por adiciones sucesivas de la unidad a sí misma repetidas indefinidamente, lo cual, en el fondo, no es sino la extensión indefinida del proceso de formación de una suma aritmética cualquiera; y aquí se ve muy claramente cómo lo indefinido se forma a partir de lo finito. Este ejemplo debe por otra parte su particular claridad al carácter discontinuo de la cantidad numérica; pero para tomar las cosas de una forma más general y aplicable a todos los casos, bastaría al respecto, insistir sobre la idea de 'llegar a ser' que implica el término 'indefinido', y que hemos expresado más arriba al hablar de un desarrollo de las posibilidades, desarrollo que, en sí mismo y en todo su transcurso, lleva consigo siempre algo de inacabado; la importancia de la consideración de las 'variables', en lo que concierne al cálculo infinitesimal, dará a este último punto todo su significado" (cap. I).

Una vez expuesto ya, en primer lugar, la idea de lo Infinito y la idea de lo indefinido, como los conceptos clave para volver a interpretar en su justa medida el cálculo infinitesimal, Guénon continúa el desarrollo de su estudio indicando:

"Hay casos en los que basta... reemplazar la idea de lo pretendidamente infinito por la de lo indefinido para que desaparezca inmediatamente toda dificultad; pero hay otros donde esto mismo no es posible, porque se trata de algo claramente determinado, 'fijado' de alguna manera por hipótesis, y a lo que, como tal, no puede llamársele indefinido... así, por ejemplo, se puede decir que la serie de los números es indefinida, pero no se puede decir que un cierto número, por grande que se le suponga y sea cual sea el rango que ocupe en esta serie, es indefinido. La idea del 'número infinito', entendido como el 'mayor de todos los números' o el 'número de todos los números', o también el 'número de todas las unidades', es una idea verdaderamente contradictoria en sí misma... no puede haber un número que sea más grande que todos los otros, pues, por grande que sea un número, siempre se puede formar uno mayor añadiéndole la unidad, de acuerdo con la ley de formación que hemos formulado más arriba. Esto viene a decir que la serie de los números no puede tener último término, y es precisamente porque no está 'terminada' por lo que es verdaderamente indefinida; como el número de todos sus términos no podría ser sino el último de ellos, se puede decir también que no es 'numerable'..."

"La imposibilidad del 'número infinito' puede establecerse además por diversos argumentos; Leibnitz, que al menos la reconocía muy claramente, empleaba el que consiste en comparar la serie de los números pares con la de todos los números enteros: a todo número corresponde otro número que es igual al doble de éste, de manera que se puede hacer corresponder las dos series término a término, de donde resulta que el número de términos debe ser el mismo en una y en la otra; pero, por otra parte, hay evidentemente dos veces más de números enteros que de números pares, puesto que los números pares se sitúan de dos en dos en la serie de los números enteros; llegando pues así a una contradicción manifiesta... por otra parte, no hay ninguna necesidad de esta suposición absurda desde el momento en que uno se hace una justa concepción de lo que es realmente la indefinitud del número, y que se reconoce además que el número, a pesar de su indefinitud, no es aplicable en modo alguno a todo lo que existe.... el número no es sino un modo de la cantidad, y la cantidad misma no es sino una categoría o un modo especial del ser, no coextensiva a éste, o, más exactamente aún, no es más que una condición propia de un cierto estado de existencia en el conjunto de la existencia universal... Sin embargo, en el dominio mismo de la cantidad, hay cosas que escapan al número, como lo veremos a propósito de lo continuo; e, incluso sin salir de la consideración de la cantidad discontinua, uno se ve forzado a admitir, al menos implícitamente, que el número no es aplicable a todo, cuando se reconoce que la multitud de todos los números no puede constituir un número, lo cual, por lo demás, no es en suma más que una aplicación de esta verdad incontestable, que lo que limita un cierto orden de posibilidades debe estar necesariamente fuera y más allá de éste¹. Solamente, por supuesto que una multitud tal, considerada ya sea en lo discontinuo, como es el caso cuando se trata de la serie de los números, ya sea en lo continuo, sobre lo cual deberemos volver un poco más adelante, no puede de ninguna manera ser denominada infinita..." (cap. II).

¹ "Hemos dicho sin embargo que una cosa particular o determinada, cualquiera que sea, está limitada por su naturaleza misma, pero no hay aquí absolutamente ninguna contradicción: en efecto, es por el lado negativo de esta naturaleza por lo que está limitada (ya que, como ha dicho Spinoza, 'omnis determinatio negatio est'), es decir en tanto que ésta excluye las otras cosas y las deja fuera de ella, de manera que, en definitiva, es la coexistencia de estas otras cosas la que limita la cosa considerada; por esto es, por otra parte, por lo que el Todo universal, y él sólo, no puede estar limitado por nada."

Siguiendo el desarrollo de su estudio, el autor expone a continuación el concepto de "multitud", y más en concreto de "multitud innumerable", al cual se ha referido ya de pasada al final del capítulo II:

"Leibnitz... admite lo que llama una 'multitud infinita', sin precisar, como lo hubieran hecho al menos los escolásticos, que no puede tratarse aquí, en todo caso, más que de un 'infinitum secundum quid'; y la serie de los números es, para él, un ejemplo de una tal multitud. Sin embargo, por otro lado, en el dominio cuantitativo, e incluso en el que concierne a la magnitud continua, la idea de lo infinito le parece siempre sospechosa de contradicción... esta actitud dubitativa resalta aún mejor la falta de principio, la cual le hacía admitir que se pudiera hablar de una 'multitud infinita'..."

"La idea de una multitud que sobrepasa a todo número, y que por consiguiente no es un número, parece haber sorprendido a la mayoría de aquellos que han discutido las concepciones de Leibnitz, ya sean '[finitistas]' o '[infinitistas]'; sin embargo, esta idea está lejos de pertenecer a Leibnitz, como estos parecen haberlo creído generalmente, y era, al contrario, una idea completamente corriente entre los escolásticos. Esta idea hacía referencia propiamente a todo aquello que no es ni número ni 'numerable', es decir a todo aquello que no se refiere a la cantidad discontinua, ya se trate de cosas que pertenecen a otros modos de la cantidad o de aquello que está enteramente fuera del dominio cuantitativo, ya que se trataba aquí de una idea del orden de los 'trascendentes', es decir de los modos generales del ser, que, contrariamente a sus modos especiales como la cantidad, le son coextensivos¹. Esto es lo que permite hablar, por ejemplo, de la multitud de los atributos divinos, o también de la multitud de los ángeles, es decir seres pertenecientes a estados que no están sometidos a la cantidad y en los cuales, por consiguiente, no puede ser cuestión de número; esto es también lo que nos permite considerar los estados del ser o los grados de la existencia como si fueran en multiplicidad o en multitud indefinida, mientras que la cantidad no es sino una condición especial de uno sólo de entre ellos... el número mismo puede contemplarse también como una especie de multitud, pero a condición de añadir que es, siguiendo la expresión de santo Tomás de Aquino, una 'multitud medida por la unidad'; todo otro tipo de multitud, al no ser 'numerable', es 'no-mensurable', es decir que es propiamente indefinida y no infinita".

¹ "Sabido es que los escolásticos, incluso en la parte propiamente metafísica de sus doctrinas, no han ido nunca más allá de la consideración del Ser, de manera que, de hecho, la metafísica se reducía para ellos solamente a la ontología."

"... Otro punto al que Leibnitz parece conceder gran importancia, es que el 'infinito', tal como él lo concibe, no constituye un todo; ésta es una condición que contempla como necesaria para que esta idea escape a la contradicción, pero... hay que preguntarse de qué tipo de 'todo' es cuestión aquí, y hay que descartar enteramente en primer lugar la idea del Todo universal, que es al contrario... el Infinito metafísico mismo, es decir el único verdadero Infinito, que no podría en modo alguno estar en juego; en efecto, ya se trate de lo continuo o de lo discontinuo, la 'multitud indefinida' que contempla Leibnitz se mantiene, en todos los casos, en el dominio restringido y contingente, de orden cosmológico y no metafísico. Se trata evidentemente... de un todo concebido como si estuviera compuesto de partes, mientras que... el Todo universal es propiamente 'sin partes'... Debemos pues limitarnos, en cuanto a la pregunta planteada, a la consideración de un todo particular; pero todavía aquí... hay dos casos a contemplar, que corresponden a dos acepciones muy diferentes de esta palabra 'todo'. En primer lugar, si se trata de un todo que no es nada más ni otra cosa que la simple suma de sus partes, de las que está compuesto como una suma aritmética, lo que dice Leibnitz es evidente en el fondo, ya que este modo de formación es precisamente el que es propio del número... pero... esta noción, lejos de representar la única manera en la que un todo puede ser concebido, no es incluso la de un todo verdadero en el sentido más riguroso de esta palabra. En efecto, un todo que no es más que la suma o el resultado de sus partes, y que, por consiguiente, es lógicamente posterior a éstas, no es otra cosa... más que un ens rationis, pues no es 'uno' y 'todo' más que en la medida en que lo concebimos como tal... Al contrario, un todo verdadero, que posee estos caracteres por su naturaleza misma, debe ser lógicamente anterior a sus partes e independiente de éstas: tal es el caso de un conjunto continuo, que podemos dividir en partes arbitrarias... pero que no presupone de ninguna manera la existencia actual de estas partes; aquí, somos nosotros quienes damos a las partes como tales una realidad, mediante una división ideal o efectiva, y así este caso es exactamente inverso del anterior."

"Ahora, la cuestión es saber si, cuando Leibnitz dice que 'el infinito no es un todo', excluye este segundo sentido así como el primero; eso parece e incluso es probable, puesto que es el único caso en el que un todo sea verdaderamente 'uno', y puesto que, según él, el infinito no es 'nec unum, nec totum'. Lo que lo confirma además, es que este caso, y no el primero, es el que se aplica a un ser vivo... y Leibnitz dice: 'Incluso el Universo no es un todo, y no debe ser concebido como un animal cuya alma sea Dios, como lo hacían los antiguos'... Lo que es cierto en todo caso, es que, si Leibnitz hubiera concebido el tercer sentido de la palabra 'todo', sentido puramente metafísico y superior a los otros dos, es decir la idea del Todo universal... no hubiera podido decir que la idea del infinito excluye la totalidad, ya que declara por otra parte: 'El infinito real es quizá el absoluto mismo, que no está compuesto de partes, pero que, al tener partes, las comprende por razón eminente y como en grado de perfección'. Hay aquí al menos un 'fulgor', se podría decir, pues esta vez, como por excepción, toma la palabra 'infinito' en su verdadero sentido, aunque sea erróneo decir que este infinito 'tiene partes'... pero es extraño que aun entonces no expresa su pensamiento más que bajo una forma dubitativa y embarazosa, como si no estuviera exactamente seguro sobre el significado de esta idea... eso hace que sea a veces tan difícil, cuando habla de infinito, saber si su intención ha sido tomar este término 'en rigor', sea ello sin razón, o si no ha visto en esto más que una simple 'manera de hablar'." (cap. III).

Guénon prosigue su estudio examinando ahora la cuestión de la medida de lo continuo:

"Hasta aquí, cuando hemos hablado del número, hemos contemplado exclusivamente el número entero... el número verdadero, lo que podría llamarse el número puro... desde el momento que contemplábamos la cantidad numérica como si fuera propiamente la cantidad discontinua... Sin embargo, esto no ha quedado aquí, y se ha considerado diferentes tipos de números además de los números enteros... que se presentan siempre, ante todo, como la figuración del resultado de operaciones que son imposibles cuando uno se atiene al punto de vista de la aritmética pura, la cual no es en rigor más que la aritmética de los números enteros: así, por ejemplo, un número fraccionario no es otra cosa que la representación del resultado de una división que no se efectúa exactamente, es decir en realidad de una división de la que debe decirse que es aritméticamente imposible, lo que se reconoce implícitamente diciendo, siguiendo la terminología matemática ordinaria, que uno de los números contemplados no es divisible por el otro. Obsérvese desde ahora que la definición que se da comúnmente de los números fraccionarios es absurda: las fracciones no pueden de ninguna manera ser 'partes de la unidad', como se dice, ya que la unidad aritmética verdadera es necesariamente indivisible y sin partes; y es de aquí que resulta la discontinuidad esencial del número que está formado a partir de ella; pero vamos a ver de dónde proviene este absurdo."

"... esto es, de manera general, como consecuencia de la aplicación que se hace del número, cantidad discontinua, a la medida de las magnitudes que, como las magnitudes espaciales por ejemplo, son del orden de la cantidad continua. Entre estos modos de la cantidad, existe una diferencia de naturaleza tal que la correspondencia de uno al otro no podría establecerse perfectamente; para remediarlo hasta cierto punto, y al menos tanto como es posible, se busca reducir en cierta manera los intervalos de este discontinuo que está constituido por la serie de los números enteros, introduciendo entre sus términos otros números, y en primer lugar los números fraccionarios, que no tendrían ningún sentido fuera de esta consideración. Desde este momento, es fácil comprender que el absurdo que señalábamos antes, en lo que concierne a la definición de las fracciones, proviene simplemente de una confusión entre la unidad aritmética y lo que se llama las 'unidades de medida', unidades que no son tales más que convencionalmente, y que son en realidad magnitudes de otro tipo que el número, especialmente magnitudes geométricas. La unidad de longitud, por ejemplo, no es más que una cierta longitud elegida por razones extrañas a la aritmética, y a la cual se hace corresponder el número 1 a fin de poder medir con relación a ella todas las otras longitudes... se podrá pues, comparándole otras longitudes que no sean múltiplos exactos, considerar partes de esta unidad de medida, pero que no serán en modo alguno por ello partes de la unidad aritmética; y es así como se introduce realmente la consideración de los números fraccionarios, como representación de relaciones entre magnitudes que no son exactamente divisibles unas por otras..."

"Hay que decir por otra parte que, a pesar de esto, subsiste siempre forzosamente algo de la naturaleza discontinua del número, que no permite que se obtenga así un equivalente perfecto de lo continuo; se puede reducir los intervalos tanto como se quiera, es decir en suma reducirlos indefinidamente, haciendo que sean más pequeños que toda cantidad que se haya dado de antemano, pero no se llegará nunca a suprimirlos completamente... Así, la multitud de los números fraccionarios, a pesar del decrecimiento indefinido de sus diferencias, no puede bastar todavía para llenar, si se puede decir, los intervalos entre los puntos contenidos en la línea, lo que viene a decir que esta multitud no es un equivalente real y adecuado del continuo lineal; se está forzado pues, para expresar la medida de ciertas longitudes, a introducir aún otros tipos de números, que son los que se llama los números inconmensurables, es decir aquellos que no tienen medida común con la unidad. Tales son los números irracionales, es decir los que representan el resultado de una extracción de raíz aritmética imposible, por ejemplo la raíz cuadrada de un número que no es cuadrado perfecto..."

"Sin entrar todavía en la cuestión de la 'composición de lo continuo', se ve pues que el número, cualquiera que sea la extensión que se dé a su noción, no le es nunca perfectamente aplicable: esta aplicación viene a ser en suma siempre reemplazar lo continuo por un discontinuo cuyos intervalos pueden ser muy pequeños, e incluso serlo cada vez más mediante una serie indefinida de divisiones sucesivas, pero sin poder nunca ser suprimidas, ya que, en realidad, no existen 'últimos elementos' a los cuales estas divisiones puedan ir a parar, al permanecer siempre, una cantidad continua, por pequeña que sea, indefinidamente divisible. Es a estas divisiones del continuo a las que responde propiamente la consideración de los números fraccionarios... Ahora bien, la propiedad de divisibilidad indefinida que caracteriza las magnitudes continuas exige evidentemente que se pueda siempre tomar aquí elementos tan pequeños como se quiera, y que los intervalos que existen entre estos elementos puedan también ser hechos menores que cualquier cantidad dada; pero además, y es aquí donde aparece la insuficiencia de los números fraccionarios, e incluso podemos decir de todo número cualquiera que sea, estos elementos y estos intervalos, para que haya realmente continuidad, no deben ser concebidos como algo determinado. Por consiguiente, la representación más perfecta de la cantidad continua se obtendrá mediante la consideración de magnitudes, no ya fijas y determinadas como aquellas de las que acabamos de hablar, sino por el contrario variables, porque entonces su variación podrá ser contemplada como si se efectuara de una manera continua; y estas cantidades deberán ser susceptibles de decrecer indefinidamente, mediante su variación, sin anularse nunca ni llegar a un 'mínimo', que no sería menos contradictorio que los 'últimos elementos' de lo continuo: esta es precisamente, como veremos, la verdadera noción de las cantidades infinitesimales." (cap. IV).