LES PRINCIPES DU CALCUL INFINITÉSIMAL (2)
Ed. Gallimard, París 1946

Tras la primera exposición que hizo Leibnitz de su método, en las Acta Eruditorum de Leipzig en 1684, en la que insistió sobre todo en los usos y aplicaciones del nuevo cálculo, y tras las objeciones que los adversarios del método promovieron posteriormente, Leibnitz decidió explicarse sobre los principios, e incluso sobre el origen de su método, a propósito de lo cual sigue diciendo Guénon:

"... todo lo que hay que retener de interesante para nosotros en las indicaciones que da a propósito de esto, es que ha partido de la consideración de las diferencias 'asignables' que existen entre los números, para pasar de aquí a las diferencias 'no asignables' que pueden ser concebidas entre las magnitudes geométricas en razón de su continuidad, y que da incluso a este orden una gran importancia, como si fuera en cierto modo 'exigido por la naturaleza de las cosas'. De aquí resulta que las cantidades infinitesimales, para él, no se nos presentan naturalmente de una manera inmediata, sino solamente como el resultado del paso de la variación de la cantidad discontinua a la de la cantidad continua, y de la aplicación de la primera a la medida de la segunda."

"Ahora bien, ¿cuál es exactamente el significado de estas cantidades infinitesimales que se ha reprochado a Leibnitz emplear sin haber definido previamente lo que entendía por ello?, y este significado ¿le permitía contemplar su cálculo como absolutamente riguroso, o solamente, por el contrario, como un simple método de aproximación? Responder a estas dos preguntas sería resolver las objeciones más importantes que le hayan sido dirigidas; pero, desgraciadamente, no lo ha hecho nunca con claridad, e incluso sus diversas respuestas no parecen siempre perfectamente conciliables entre sí.... Leibnitz tenía por lo demás, en general, la costumbre de explicar las mismas cosas de diferentes maneras según las personas a las que se dirigía... si es posible evidentemente revestir una misma verdad con diferentes expresiones, por supuesto que esto debe hacerse sin deformarla nunca ni rebajarla... esto es lo que Leibnitz no ha sabido hacer en muchos casos. Así, lleva la 'acomodación' hasta parecer a veces dar la razón a aquellos que no han querido ver en su cálculo más que un método de aproximación... y sin embargo es cierto que no era éste el fondo de su pensamiento, y que, en realidad, veía aquí mucho más que un simple expediente destinado a abreviar los cálculos."

"Leibnitz declara frecuentemente que las cantidades infinitesimales no son más que 'incomparables', pero, en lo que se refiere al sentido exacto en el cual debe entenderse esta palabra, le ocurrió que dio una explicación no solamente poco satisfactoria, sino incluso muy deplorable, ya que ésta no podía más que suministrar armas a sus adversarios, quienes por otra parte no dejaron de emplearlas; aquí también, no ha expresado ciertamente su verdadero pensamiento, y podemos ver en ello otro ejemplo, todavía más grave que el anterior, de esta 'acomodación' excesiva que sustituye puntos de vista erróneos en lugar de una expresión 'adaptada' de la verdad..."

"Por otra parte declara expresamente que su intención no ha sido presentar las cantidades infinitesimales como determinadas: 'Al menos no había aquí la menor cosa que pudiera hacer pensar que yo entendía una cantidad muy pequeña en verdad, pero siempre fija y determinada', a lo cual añade: 'Por lo demás, escribí hace ya algunos años al Sr. Bernoulli de Groningue que los infinitos e infinitamente pequeños podrían ser tomados por ficciones, semejantes a las raíces imaginarias, sin que esto perjudicara a nuestro cálculo, al ser estas ficciones útiles y fundadas en realidad... que tienen 'fundamentum in re', lo que implica evidentemente algo más que un valor puramente utilitario..." (cap. V).

"En cuanto al sentido en el que hay que entender que las cantidades infinitesimales son 'ficciones bien fundadas', Leibnitz declara que 'los infinitos e infinitamente pequeños están fundados de tal manera que todo se hace en la geometría, e incluso en la naturaleza, como si fueran perfectas realidades'; para él, en efecto, todo lo que existe en la naturaleza implica en cierta forma la consideración de lo infinito, o al menos de lo que cree poder llamar así: 'La perfección del análisis de los transcendentes o de la geometría donde entra la consideración de algún infinito, dice, sería sin duda la más importante a causa de la aplicación que se puede hacer de ello a las operaciones de la naturaleza, que hace entrar al infinito en todo lo que hace'... Pero, si incluso Leibnitz entiende solamente por esto que la complejidad de las cosas naturales sobrepasa incomparablemente los límites de nuestra percepción distintiva, no por ello deja de ser que las cantidades infinitas e infinitamente pequeñas deban tener su 'fundamentum in re'; y este fundamento que se encuentra en la naturaleza de las cosas, al menos de la manera en que la concibe, no es otra cosa que lo que llama la 'ley de continuidad'... a la que contempla, con razón o sin ella, como que no es más que un caso particular de una cierta 'ley de justicia', la cual se liga en definitiva a la consideración del orden y de la armonía..."

"... Puesto que, por otra parte, se puede pasar de estas cantidades ficticias, y contentarse considerando en su lugar cantidades que pueden hacerse tan grandes y tan pequeñas como se quiera, y que, por esta razón, se les puede llamar indefinidamente grandes e indefinidamente pequeñas, habría sido sin duda mejor comenzar por aquí, y evitar así introducir ficciones que, cualquiera que sea su 'fundamentum in re', no son en suma de ningún uso efectivo, no solamente para el cálculo, sino para el propio método infinitesimal. Las expresiones de 'indefinidamente grande' y de 'indefinidamente pequeño', o, lo que viene a ser lo mismo, pero que es quizá aún más preciso, de 'indefinidamente creciente' e 'indefinidamente decreciente', no solamente tienen la ventaja de ser las únicas que son rigurosamente exactas; tienen además la de mostrar claramente que las cantidades a las que se aplican no pueden ser más que cantidades variables y no determinadas..."

"El uso de estos términos habría evitado muchas dificultades y muchas discusiones, y no hay nada sorprendente en esto, pues no se trata aquí de una simple cuestión de palabras, sino de reemplazar una idea falsa por una idea justa, una ficción por una realidad; esto no hubiera permitido, especialmente, tomar las cantidades infinitesimales por cantidades fijas y determinadas, ya que la palabra 'indefinido' lleva consigo siempre por sí misma una idea de 'devenir'... y por consiguiente de cambio o, cuando se trata de cantidades, de variación... Las cantidades infinitesimales son ciertamente 'incomparables' a las cantidades ordinarias, pero... es mejor decir que son 'no asignables', siguiendo otra expresión de Leibnitz, ya que por este término parece entenderse rigurosamente cantidades que son susceptibles de llegar a ser tan pequeñas como se quiera, es decir más pequeñas que toda cantidad dada, y a las cuales no se puede, por consiguiente, 'asignar' ningún valor determinado, por pequeño que sea..."

"... Pero, por lo que concierne al significado verdadero de las cantidades infinitesimales, la cuestión no se limita a esto... si estas ficciones han sido introducidas, con razón o sin ella, en el origen del cálculo infinitesimal, es porque, en la intención de Leibnitz, debían de todas maneras de corresponder a algo, por defectuosa que fuera la manera en que lo expresaban. Puesto que nos ocupamos aquí de principios, y no de un procedimiento de cálculo reducido en cierta forma a sí mismo, lo que no tendría interés para nosotros, debemos pues preguntarnos cuál es exactamente el valor de estas ficciones, no solamente desde el punto de vista lógico, sino además desde el punto de vista ontológico, si están tan 'bien fundadas' como creía Leibnitz, y si incluso podemos decir como él que son 'toleranter verae'... para responder a estas preguntas, nos hará falta examinar más de cerca su concepción de la 'ley de continuidad', puesto que es en ésta donde pensaba encontrar el 'fundamentun in re' de los infinitamente pequeños." (cap. VI).

Pero antes de llegar a las cuestiones que se refieren propiamente a lo continuo, y a lo que Leibnitz llama la "ley de continuidad", Guénon continúa su estudio exponiendo seguidamente una serie de argumentos erróneos que el propio Leibnitz dio de su cálculo, en su afán de esclarecer su método ante sus adversarios, y que contribuyeron a embrollar más aún la discusión que mantenía con estos a propósito del mismo.

"No hemos tenido aún ocasión de ver anteriormente todas las confusiones que se introducen inevitablemente cuando se admite la idea de lo infinito en acepciones diferentes a su único sentido verdadero y propiamente metafísico; se encontraría más de un ejemplo de ello, especialmente, en la larga discusión que tuvo Leibnitz con Jean Bernoulli sobre la realidad de las cantidades infinitas e infinitamente pequeñas, discusión que no llegó a ninguna conclusión definitiva, y que no podía llegar, por el hecho de esas confusiones cometidas en cada momento tanto por el uno como por el otro, y de la falta de principios de la que procedían; por lo demás, en cualquier orden de ideas que uno se sitúe, es siempre en suma la falta de principios la única que hace que las cuestiones sean insolubles. Uno puede sorprenderse, entre otras cosas, de que Leibnitz haya diferenciado entre 'infinito' e 'inacabado', y que no haya rechazado absolutamente la idea, sin embargo manifiestamente contradictoria, de un 'infinito acabado'... Sin duda, le repugna admitir esta posibilidad, 'tanto que me ha parecido, dice por otra parte, que lo infinito tomado en rigor debe tener su fuente en lo inacabado, sin lo cual no veo el medio de encontrar un fundamento propio para distinguirlo de lo finito'. Pero, aunque se diga incluso, de manera más afirmativa que él hace, que 'lo infinito tiene su fuente en lo inacabado', esto es porque no se lo considera absolutamente idéntico a este, porque se lo distingue en cierta medida; y, en tanto que esto es así, se corre el riesgo de quedarse detenido por una multitud de ideas extrañas y contradictorias... por ejemplo, la idea de una especie de 'eternidad acabada'... producto de una confusión entre la noción de eternidad y la de duración, que es absolutamente injustificable desde el punto de vista de la metafísica... todos los modos de duración, en toda su extensión posible, no son no obstante más que indefinidos, puesto que se trata siempre de condiciones particulares de existencia, propias a tal o cual estado, y ninguno de ellos, por eso mismo que es una duración, es decir que implica una sucesión, no puede identificarse o asimilarse a la eternidad, con la cual no tiene realmente más relación que la que lo finito, bajo el modo que sea, tiene con lo Infinito verdadero, ya que la concepción de una eternidad relativa no tiene más sentido que la de una infinitud relativa. En todo esto, no se puede contemplar más que diversos órdenes de indefinitud... pero Leibnitz, a falta de haber hecho las distinciones necesarias y esenciales, y sobre todo de haber puesto ante todo el principio, el único que le habría permitido no extraviarse nunca, se encuentra en dificultades para refutar las opiniones de Bernoulli, quien le cree incluso, de tal manera sus respuestas son equívocas y dudosas, menos alejado de lo que estaba en realidad de sus propias ideas sobre la 'infinitud de los mundos' y los diferentes 'grados de infinitud'."

"Es en otro sentido completamente diferente de éste que se puede hablar verdaderamente, no de infinitud, sino de indefinitud de los mundos, y esto es solamente porque, fuera de las condiciones de existencia, como el espacio y el tiempo, que son propias a nuestro mundo, contemplado en toda la extensión de que es susceptible, hay una indefinitud de otros igualmente posibles; un mundo, es decir en suma un estado de existencia, vendrá definido por el conjunto de las condiciones a las cuales está sometido; pero, por eso mismo que será siempre condicionado, es decir determinado y limitado, y que desde ese momento no comprenderá todas las posibilidades, no podrá nunca ser contemplado como infinito, sino solamente como indefinido."

"... Tendremos ocasión luego de substituir a esta consideración la de los verdaderos grados múltiples de indefinitud, tomada tanto en el orden creciente como en el orden decreciente..."

"... la diferencia entre Bernoulli y Leibnitz, es que, para el primero, se trata verdaderamente de 'grados de infinitud', aunque no los dé más que como una conjetura probable, mientras que para el segundo, dudando de su probabilidad e incluso de su posibilidad, se limita a reemplazarlos por lo que se podría llamar 'grados de incomparabilidad'. Aparte de esta diferencia, muy importante ciertamente, la concepción de una serie de mundos semejantes entre ellos, pero a diferentes escalas, les es común... En cuanto a Leibnitz... la superposición de 'incomparables' de órdenes diferentes le parecía conforme a su concepción del 'mejor de los mundos', como que suministraba un medio de acomodar aquí, siguiendo la definición que da de éste, 'tanto ser y realidad cuanto es posible'; y esta idea del 'mejor de los mundos' proviene también, de otra idea tradicional mal aplicada, idea tomada a la geometría simbólica de los Pitagóricos, como lo hemos indicado ya en otra parte¹... Sabido es por otra parte que a esta concepción del 'mejor de los mundos', al mismo tiempo que a la de los 'incomparables', se vinculan sus conocidas comparaciones del 'jardín lleno de plantas' y del 'estanque lleno de peces', donde cada rama de planta, cada miembro del animal, cada gota de sus humores es también un tal jardín y un tal estanque; y esto nos lleva naturalmente a abordar otra cuestión conexa, que es la de la 'división de la materia al infinito'." (cap. VII).

¹ "El Simbolismo de la Cruz, pág. 58 [ed. fr.]. ­ Sobre la distinción de los 'posibles' y de los 'composibles', de la que depende por otra parte la concepción del 'mejor de los mundos', cf. Los Estados múltiples del ser, cap. II."

"Para Leibnitz, la materia es no solamente divisible, sino 'subdividida actualmente sin fin' en todas sus partes, 'cada parte en partes, de las cuales cada una tiene algún movimiento propio'... 'De la división actual se deduce que, en una parte de la materia, por pequeña que sea, hay como un mundo que consiste en innumerables criaturas'... 'Incluso si se acuerda que no hay ninguna porción de materia que no esté actualmente dividida, no se llega no obstante a elementos insecables, o a partes más pequeñas que todas las otras o infinitamente pequeñas, sino solamente a partes siempre más pequeñas, que son no obstante cantidades ordinarias, lo mismo que, aumentando, se llega a cantidades siempre más grandes'... para Leibnitz... lo que considera como la 'infinitud' de una serie se caracteriza por la imposibilidad de llegar a un último término, e igualmente la materia no estaría dividida 'al infinito' si esta división pudiera acabarse y dar como resultado 'últimos elementos'... en otras palabras, la materia no tiene 'partes minimae' o elementos simples, es esencialmente un compuesto: 'Es verdad que las sustancias simples, es decir las que no son seres por agregación, son verdaderamente indivisibles, pero son inmateriales, y no son más que principios de acción'. Es en el sentido de una multitud innumerable, el cual es por otra parte el más habitual en Leibnitz, que la idea del susodicho infinito puede aplicarse a la materia, a la extensión geométrica, y en general a lo continuo, contemplado bajo el aspecto de su composición; por lo demás, este sentido no es propio exclusivamente del 'infinitum continuum', se extiende también al 'infinitum discretum', como hemos visto por el ejemplo de la multitud de todos los números y por el de las 'series infinitas'..."

"Si ahora nos preguntamos lo que vale la idea de la 'división al infinito', hay que reconocer que, como la de la 'multitud indefinida', contiene cierta parte de verdad, aunque la manera en que está expresada esté lejos de quedar al abrigo de toda crítica: antes de nada, va de suyo que, según todo lo que hemos expuesto hasta ahora, no puede ser cuestión en modo alguno de división al infinito, sino solamente de división indefinida; por otra parte, hay que aplicar esta idea, no a la materia en general, lo cual no tiene quizá ningún sentido, sino solamente a los cuerpos... En efecto, es a la extensión, y no a la materia... que pertenece propiamente la divisibilidad... si pues todo cuerpo es necesariamente divisible, es porque es extenso, y no porque es material. Ahora bien, recordémoslo aún, la extensión, siendo algo determinado, no puede ser infinita, y, por consiguiente, no puede implicar evidentemente ninguna posibilidad que sea infinita desde el momento que ella misma no lo es; pero, como la divisibilidad es una cualidad inherente a la naturaleza de la extensión, su limitación no puede venir más que de esta naturaleza misma... y así se puede considerar a la divisibilidad como realmente indefinida, al estar condicionada su indefinitud por la de la extensión. Además, la extensión, como tal, no puede estar compuesta de elementos indivisibles, ya que estos elementos, para ser verdaderamente indivisibles, deberían ser inextensos, y una suma de elementos inextensos no puede constituir nunca una extensión, no más que una suma de ceros no puede constituir un número; es por lo que, como hemos explicado en otra parte¹, los puntos no son elementos o partes de una línea, y los verdaderos elementos lineales son siempre distancias entre puntos, los cuales son solamente las extremidades de estas... Leibnitz... no considera que una línea esté compuesta de puntos, ni una superficie compuesta de líneas, ni un volumen compuesto de superficies: puntos, líneas y superficies no son aquí más que límites o extremidades, no elementos constitutivos. Es evidente en efecto que puntos, multiplicados por la cantidad que sea, no podrían nunca producir una longitud; los verdaderos elementos de una magnitud deben ser siempre de la misma naturaleza que esta magnitud, aunque incomparablemente menores... esto es lo que permite observar en el cálculo infinitesimal una cierta ley de homogeneidad que supone que las cantidades ordinarias y las cantidades infinitesimales de diversos órdenes, aunque incomparables entre sí, son sin embargo magnitudes de la misma especie."

¹ "El Simbolismo de la Cruz, cap. XVI."

"Se puede decir además, desde este punto de vista, que la parte, sea cual sea, debe conservar siempre una cierta 'homogeneidad' o conformidad de naturaleza con el todo, al menos en tanto que se considere este todo como que puede ser reconstituido por medio de sus partes por un procedimiento comparable al que sirve para la formación de una suma aritmética. Esto no quiere decir por otra parte que no exista nada simple en la realidad, ya que el compuesto puede estar formado, a partir de elementos, de una manera completamente diferente de aquella; pero entonces, a decir verdad, estos elementos no son ya propiamente 'partes', y, como lo reconocía Leibnitz, no pueden ser en modo alguno de orden corporal. Lo que es cierto, en efecto, es que no se puede llegar a elementos simples, es decir indivisibles, sin salir de esta condición especial que es la extensión, de manera que ésta no puede resolverse en tales elementos sin dejar de ser en tanto que extensión. De aquí resulta inmediatamente que no pueden existir elementos corporales que no se puedan partir, y que este concepto implica contradicción; en efecto, semejantes elementos deberían ser inextensos y entonces no serían ya corporales, pues, incluso por definición, quien dice corporal dice forzosamente extensión, aunque por otra parte no sea ésta toda la naturaleza de los cuerpos, y así, a pesar de todas las reservas que debemos manifestar con respecto a otros aspectos, Leibnitz tiene al menos completamente razón contra el atomismo."

"... si la teoría de Leibnitz es justa en tanto que se opone al atomismo, hace falta por otra parte, para que corresponda a la verdad, rectificarla reemplazando la 'división de la materia al infinito' por la 'división indefinida de la extensión'; ésta es, en su expresión más breve y más precisa, el resultado al que llevan en definitiva todas las consideraciones que acabamos de exponer". (cap. VIII).

Guénon sigue examinando a continuación la representación numérica de las cantidades indefinidamente crecientes y de las cantidades indefinidamente decrecientes:

"... hemos visto, dice, que, en el dominio de la cantidad discontinua, en tanto que no se considera más que la serie de los números enteros, éstos deben ser contemplados como creciendo indefinidamente a partir de la unidad, pero que, al ser la unidad esencialmente indivisible, no puede ser evidentemente cuestión de un decrecimiento indefinido... de manera que la representación de lo indefinido mediante los números enteros está limitada a un solo sentido, que es el de lo indefinidamente creciente. En cambio, cuando se trata de la cantidad continua, se pueden contemplar cantidades indefinidamente decrecientes tanto como cantidades indefinidamente crecientes; y lo mismo sucede en la cantidad discontinua tan pronto como... se introduce aquí la consideración de los números fraccionarios...

"Para poner en evidencia, mediante la representación numérica, la correlación de lo indefinidamente creciente y lo indefinidamente decreciente, basta considerar, al mismo tiempo que la serie de los números enteros, la de sus inversos: se dice que un número es inverso de otro cuando su producto por éste es igual a la unidad, y, por esta razón, el inverso del número n está representado por la notación 1/n... de manera que estas dos series son igualmente indefinidas... aunque en sentido contrario... ; por grande que sea un número N, el número N+1 será todavía mayor, en virtud de la ley de formación de la serie indefinida de los números enteros, e igualmente, por pequeño que sea un número 1/N, en número 1/N+1 será todavía menor; esto es lo que prueba claramente la imposibilidad del 'menor de los números', cuya noción no es menos contradictoria que la del 'mayor de los números', ya que, si no es posible detenerse en un número determinado en el sentido creciente, tampoco será posible detenerse en el sentido decreciente. Por lo demás, como esta correlación que se observa en lo discontinuo numérico se presenta ante todo como una consecuencia de la aplicación de este discontinuo a lo continuo, como lo hemos dicho a propósito de los números fraccionarios de los cuales dicha correlación supone naturalmente la introducción, no puede más que traducir a su manera, condicionada necesariamente por la naturaleza del número, la correlación que existe en lo continuo mismo entre lo indefinidamente creciente y lo indefinidamente decreciente..."

"Está bien señalar que... no es necesario que los inversos de los números enteros sean definidos aquí como números fraccionarios... Basta considerar las dos series como constituidas por números respectivamente más grandes y más pequeños que la unidad, es decir como dos órdenes de magnitudes que tienen en ésta su común límite, al mismo tiempo que pueden ser contempladas, una y otra, como salidas de esta unidad, que es verdaderamente la fuente primera de todos los números; además, si se quisiera considerar estos dos conjuntos indefinidos como si formaran una serie única, se podría decir que la unidad ocupa exactamente el centro en esta serie de números, puesto que... hay exactamente tantos números en uno de estos conjuntos como en el otro... por supuesto que, cuando decimos 'tantos números', esto significa que hay aquí dos multitudes correspondiéndose término a término, pero sin que estas multitudes puedan de ninguna manera ser consideradas por ello como 'numerables'. En todos los casos, el conjunto de dos números inversos, multiplicándose uno por otro, reproduce siempre la unidad de la que han salido; se puede decir además que la unidad, que ocupa el centro entre los dos grupos, y que es el único número que puede ser contemplado como perteneciente a la vez a ambos... corresponde al estado de equilibrio perfecto, y que contiene en sí misma todos los números, que han salido de ella por parejas de números inversos o complementarios..."

"En lugar de decir que la serie de los números enteros es indefinidamente creciente y la de sus inversos indefinidamente decrecientes, se podría decir también, en el mismo sentido, que los números tienden así por una parte hacia lo indefinidamente grande y por la otra hacia lo indefinidamente pequeño, a condición de entender por esto los límites mismos del dominio en el cual se considera estos números, pues una cantidad variable no puede tender más que hacia un límite... esto viene a decir que los límites no están determinados por tal o cual número particular... sino por la naturaleza misma del número como tal... es por esto mismo que no puede en modo alguno ser cuestión aquí de infinito... y se puede observar a propósito de esto que la expresión 'tender hacia el infinito' empleada frecuentemente por los matemáticos en el sentido de 'crecer indefinidamente', es un absurdo, puesto que lo infinito implica evidentemente la ausencia de todo límite..."

"... Se puede contemplar solamente un número como prácticamente indefinido, si está permitido hablar así, cuando no puede ser expresado mediante la lengua ni representado mediante la escritura... esto es, si se quiere, una simple cuestión de 'perspectiva', ... el carácter de lo indefinido... no es otra cosa, en definitiva, que aquello cuyos límites pueden ser, no suprimidos, puesto que esto sería contrario a la naturaleza misma de las cosas, sino simplemente alejados hasta ser enteramente perdidos de vista. A propósito de esto... uno se podría preguntar por qué la lengua china representa simbólicamente lo indefinido mediante el número diez mil... 'los diez mil seres'... Lo que es muy notable, es que la misma cosa se produce precisamente también en griego... La verdadera razón de este hecho es ésta: este número diez mil es la cuarta potencia de diez; ahora bien, siguiendo la fórmula del Tao-te-king, 'uno ha producido dos, dos ha producido tres, tres ha producido todos los números", lo que implica que cuatro, producido inmediatamente por tres, equivale de cierta manera a todo el conjunto de los números, y esto porque, desde el momento que se tiene el cuaternario, se tiene también, por adición de los cuatro primeros números, el denario, que representa un ciclo numérico completo: 1 + 2 + 3 + 4 = 10, lo que es... la fórmula numérica de la Tétraktys pitagórica. Se puede añadir aún que esta representación de la indefinitud numérica tiene su correspondencia en el orden espacial: sabido es que la elevación a una potencia superior de un grado representa, en este orden, la agregación de una dimensión, ahora bien, al no tener nuestra extensión más que tres dimensiones, sus límites son sobrepasados cuando se va más allá de la tercera potencia, lo que... viene a decir que la elevación a la cuarta potencia señala el término de su indefinitud, puesto que, desde el momento que se ha efectuado, se ha salido por ello mismo de esta extensión y se ha pasado a otro orden de posibilidades." (cap. IX).

Llegado a este punto, Guénon recopila sumariamente a continuación las principales nociones que ha ido exponiendo hasta aquí, en el curso de su estudio, antes de examinar la noción de límite, y la de "paso al límite", de la que, dice, "depende todo el valor del método infinitesimal bajo el aspecto del rigor".

"... Conviene acordarse... de que, cuando Leibnitz, al comenzar las investigaciones que debían... conducirle al descubrimiento de su método, operaba sobre series de números, no tenía que considerar más que diferencias finitas en el sentido ordinario de esta palabra; las diferencias infinitesimales no se le presentaron más que cuando trató de aplicar lo discontinuo numérico a lo continuo espacial... su carácter infinitesimal provenía de la continuidad de las magnitudes a las que ellas debían aplicarse, y así la consideración de los 'infinitamente pequeños' se encontraba, para Leibnitz, estrechamente ligada a la cuestión de la 'composición de lo continuo'."

"... lo continuo, en tanto que existe como tal, es siempre divisible, y, por consiguiente, no podría tener 'partes minimae'. Los 'indivisibles' no son siquiera partes de aquello con respecto a lo cual son indivisibles, y el 'minimum' no puede concebirse aquí más que como límite o extremidad, no como elemento: 'La línea no es solamente menor que cualquier superficie, dice Leibnitz, sino que no es incluso una parte de la superficie, es solamente un minimum o un extremo'; y la asimilación entre extremum y minimum puede justificarse aquí, desde su punto de vista, mediante la 'ley de continuidad', en tanto que ésta permite, según él, el 'paso al límite', como lo veremos más adelante. ... los elementos infinitesimales deben ser partes del continuo, ... y no pueden serlo más que con la condición de no ser unos 'infinitamente pequeños' verdaderos, pues éstos no serían otra cosa que esas 'partes minimae' o esos 'últimos elementos' cuya existencia misma implica contradicción con respecto a lo continuo. Así, la composición de lo continuo no permite que los infinitamente pequeños sean más que simples ficciones; pero, por otro lado, la existencia de este mismo continuo es la que hace sin embargo que éstas sean, al menos a los ojos de Leibnitz, 'ficciones bien fundadas': si 'todo se hace en la geometría como si fueran perfectas realidades', es porque la extensión, que es el objeto de la geometría, es continua; y, si es lo mismo en la naturaleza, es porque los cuerpos son igualmente continuos... Por otra parte, si los cuerpos son continuos es porque son extensos, y participan de la naturaleza de la extensión... Es pues, en suma, la continuidad de la extensión la que es el verdadero fundamento de todas las otras continuidades que se observan en la naturaleza corporal... y es... a la extensión, a la que debe serle atribuida en realidad la propiedad de 'divisibilidad indefinida'."

"... Debemos sin embargo adjuntar aquí la continuidad del tiempo, ya que, contrariamente a la extraña opinión de Descartes a propósito de esto, el tiempo es realmente continuo en sí mismo, y no solamente en la representación espacial mediante el movimiento que sirve para su medida... Se podría por otra parte, por lo que concierne a la composición de lo continuo temporal, repetir todo lo que hemos dicho para la de lo continuo espacial..."

"Todo lo que hemos dicho hasta aquí muestra suficientemente en qué sentido se puede comprender que, desde el punto de vista en que se sitúa Leibnitz, lo continuo envuelve necesariamente a lo infinito; pero, por supuesto, no podríamos admitir que se trate aquí de una 'infinitud actual', como si todas las partes posibles debieran estar efectivamente dadas cuando el todo es dado, ni... de una verdadera infinitud, que es excluida por toda determinación, cualquiera que sea, ... aquí, como en todos los casos en los que se presenta la idea de un pretendido infinito, diferente del verdadero Infinito metafísico, y que no obstante, en sí mismos, representan otra cosa que absurdos puros y simples, desaparece toda contradicción, y con ella toda dificultad lógica, si se reemplaza este susodicho infinito por lo indefinido, y si se dice simplemente que todo continuo envuelve una cierta indefinitud desde el momento que se le contempla bajo la relación de sus elementos..." (cap. X).

"Desde el momento que existe lo continuo, podemos decir con Leibnitz, continúa Guénon, que existe continuidad en la naturaleza, o, si se quiere, que debe haber una cierta 'ley de continuidad' que se aplica a todo lo que presenta los caracteres de lo continuo... Por otra parte, nada permite suponer a priori que, fuera de la cantidad, se pueda contemplar en todas partes una continuidad, e incluso, a decir verdad, sería muy sorprendente que solo el número, entre todas las cosas posibles, tuviera la propiedad de ser esencialmente discontinuo; pero nuestra intención no es buscar aquí entre qué límites es verdaderamente aplicable una 'ley de continuidad'..."

"Como quiera que sea, basta en todo caso que las magnitudes geométricas sean continuas, como lo son en efecto, para que se pueda tomar siempre elementos tan pequeños como se quiera... y, como dice Leibnitz, 'es sin duda en esto que consiste la demostración rigurosa del cálculo infinitesimal', que se aplica precisamente a estas magnitudes geométricas. La 'ley de continuidad' puede ser pues el 'fundamentum in re' de esas ficciones que son las cantidades infinitesimales, de la misma manera que de esas otras ficciones que son las raíces imaginarias, puesto que Leibnitz hace una comparación entre unas y otras... Por otra parte, si se admite una 'ley de continuidad', haciendo ciertas restricciones sobre su alcance, ... esto no implica en modo alguno que haya que concebirla exactamente como hacía Leibnitz, ni aceptar todas las consecuencias que él pretendía sacar de ésta..."

"Bajo su forma más general, esta ley corresponde en suma a esto... puesto que existe un cierto orden en los principios, entendidos aquí en un sentido relativo como las ideas que se toman como punto de partida, debe haber siempre un orden correspondiente en las consecuencias que se sacarán de éstas. Lo cual es... un caso particular de la 'ley de justicia', es decir de orden, que postula la 'universal inteligibilidad'; es pues en el fondo, para Leibnitz, una consecuencia o una aplicación del 'principio de razón suficiente', si no es el propio principio en tanto que se aplica más especialmente a las combinaciones y a las variaciones de la cantidad: ... se podría reprochar a Leibnitz, en cuanto a su concepción de la 'universal inteligibilidad', y aunque fuera un adversario declarado del estrecho racionalismo cartesiano, haber confundido demasiado fácilmente 'inteligible' y 'racional'; ... añadiremos solamente, a propósito de esto... que Leibnitz, después de haber afirmado que 'no hay necesidad de hacer depender el análisis matemático de las controversias metafísicas', lo cual es totalmente discutible puesto que esto supone hacer de ello, siguiendo el punto de vista puramente profano, una ciencia enteramente ignorante de sus propios principios, ... llega finalmente a invocar, en apoyo de su 'ley de causalidad', a la que liga este mismo análisis matemático, un argumento no ya metafísico en efecto, sino teológico... 'Esto es porque todo se gobierna por la razón, dice, y que de otra manera no habría ciencia ni regla, lo que no sería conforme a la naturaleza del soberano principio', a lo cual se podría responder que la razón no es en realidad más que una facultad puramente humana y de orden individual... la inteligencia entendida en el sentido universal, es decir el intelecto puro y transcendente, es otra cosa que la razón... de tal manera que, si es verdad que no hay nada 'irracional', no lo es menos que hay sin embargo muchas cosas que son 'supra-racionales', pero que no son por eso menos 'inteligibles'."

"Pasaremos ahora a otro enunciado más preciso de la 'ley de continuidad', enunciado que se refiere más directamente que el anterior a los principios del cálculo infinitesimal: 'Si un caso se aproxima de manera continua a otro caso en los datos y se desvanece finalmente en él, necesariamente los resultados de estos casos se aproximan igualmente de manera continua en las soluciones buscadas y finalmente terminan recíprocamente uno en otro'. Hay aquí dos cosas que importa distinguir: primero, si la diferencia de dos casos disminuye hasta llegar a ser menor que toda magnitud asignable 'in datis', debe ser lo mismo 'in quaesitis'; esto no es, en suma, más que la aplicación del enunciado más general, y no es esta parte de la ley la que es susceptible de promover objeciones... pero, ¿hay que admitir además que... la diferencia de dos casos llegará a ser rigurosamente nula, como consecuencia de su decrecimiento continuo e indefinido? o bien, si se prefiere, ¿este decrecimiento, aunque indefinido, llegará a alcanzar su término? La cuestión es, en el fondo, saber si, en una variación continua, puede alcanzarse el límite... Leibnitz pretende justificar el 'paso al límite' mediante la 'ley de continuidad'... y es precisamente aquí donde sus condiciones son completamente inaceptables; pero, para que esta parte de la cuestión pueda ser enteramente comprendida, debemos comenzar por precisar la noción matemática de límite." (cap. XI).

"La noción de límite es una de las más importantes que tenemos que examinar aquí, ya que es de ella que depende todo el valor del método infinitesimal bajo el aspecto del rigor; se ha llegado incluso a decir que, en definitiva, 'todo algoritmo infinitesimal reposa únicamente sobre la noción de límite, ya que es precisamente esta noción rigurosa la que sirve para definir y justificar todos los símbolos y todas las fórmulas del cálculo infinitesimal'¹. En efecto, el objeto de este cálculo 'se reduce a calcular límites de relaciones y límites de sumas, es decir a encontrar los valores fijos hacia los que convergen relaciones o sumas de cantidades variables, a medida que éstas decrecen indefinidamente siguiendo una ley dada'². Para más precisión todavía, diremos que, de las dos ramas en las que se divide el cálculo infinitesimal, el cálculo diferencial consiste en calcular los límites de relaciones en las que los dos términos van simultáneamente decreciendo indefinidamente siguiendo una cierta ley, de tal manera que la relación misma conserva siempre un valor finito y determinado; y el cálculo integral consiste en calcular los límites de sumas de elementos cuya multitud crece indefinidamente al mismo tiempo que el valor de cada uno de ellos decrece indefinidamente, ya que hace falta que estas dos condiciones vayan juntas para que la suma permanezca siempre una cantidad fija y determinada... El punto sobre el que debemos insistir particularmente... es que el límite es concebido esencialmente como una cantidad fija y determinada..."

¹ "L. Couturat, De l'infini mathématique, p. XXIII."

² "Ch. de Freycinet, De l'Analyse infinitésimal, Prefacio, p. VIII."

"Pero una cosa es la concepción del límite en sí mismo, y otra la justificación lógica del 'paso al límite'; Leibnitz estimaba que 'lo que justifica en general este 'paso al límite', es que la misma relación que existe entre varias magnitudes variables subsiste entre sus límites fijos, cuando sus variaciones son continuas, ya que entonces alcanzan en efecto sus límites respectivos; esto es otro enunciado del principio de continuidad'. Pero toda la cuestión está precisamente en saber... si el límite puede ser concebido como el último término de una variación continua. Veremos que, en realidad, esta solución es inaceptable... una diferencia infinitesimal no podrá nunca ser rigurosamente nula; por consiguiente, una variable, en tanto sea contemplada como tal, diferirá siempre realmente de su límite, y no podrá alcanzarlo sin perder por ello mismo su carácter de variable... Se podría objetar que la concepción que acabamos de exponer hace también imposible el 'paso al límite', puesto que este límite tiene justamente como carácter no poder ser alcanzado; pero esto no es verdad más que en cierto sentido, y solamente en tanto que se considere las cantidades variables como tales, ya que no hemos dicho que el límite no pudiera alcanzarse en modo alguno, sino, y he aquí lo que es esencial precisar, que no podía alcanzarse en la variación y como término de ésta. Lo que es verdaderamente imposible, es únicamente la concepción del 'paso al límite' como si constituyera el resultado de una variación continua; debemos pues sustituir esta concepción por otra, y es lo que haremos más explícitamente más adelante." (cap. XII).

"Podemos volver ahora, prosigue Guénon, al examen de la 'ley de continuidad', o, más exactamente, del aspecto de esta ley que habíamos momentáneamente dejado de lado, y que es aquel por el cual Leibnitz cree poder justificar el 'paso al límite', porque, para él, resulta de éste 'que, en las cantidades continuas, el caso extremo exclusivo puede ser tratado como inclusivo, y que así este último caso, aunque de naturaleza totalmente diferente, está como contenido en estado latente en la ley general de los otros casos'. Es justamente aquí donde reside, aunque no parezca darse cuenta de ello, el principal defecto lógico de su concepción de la continuidad, como es bastante fácil darse cuenta por las consecuencias que deduce de esto y las aplicaciones que hace de ello; he aquí en efecto algunos ejemplos: ... 'De acuerdo con esta ley de continuidad que excluye todo salto en el cambio, el caso del reposo puede ser contemplado como un caso especial del movimiento, a saber como un movimiento que se desvanece al minimum, y el caso de la igualdad como un caso de desigualdad evanescente...' ... 'Aunque no sea verdad en rigor que el reposo es una especie de movimiento, o que la igualdad es una especie de desigualdad, como no es verdad tampoco que el círculo es una especie de polígono regular, no obstante, se puede decir que el reposo, la igualdad, y el círculo terminan los movimientos, las desigualdades y los polígonos regulares, que mediante un cambio continuo llegan aquí desvaneciéndose... De otra manera la ley de continuidad sería violada, es decir que, puesto que se pasa de los polígonos al círculo mediante un cambio continuo y sin hacer salto, hace falta también que no se haga salto en el paso de las afecciones de los polígonos a la del círculo'... Es verdad que el círculo es el límite de un polígono regular cuyo número de lados crece indefinidamente, pero su definición es esencialmente otra que la de los polígonos; y se ve claramente, en un ejemplo como éste, la diferencia cualitativa que existe, como hemos dicho, entre el límite en sí mismo y aquello de lo cual es el límite. El reposo no es de ninguna manera un caso particular del movimiento, ni la igualdad un caso particular de la desigualdad, ni la coincidencia un caso particular de la distancia, ni el paralelismo un caso particular de la convergencia; Leibnitz no admite que lo sean en un sentido riguroso, pero no por ello sostiene menos que pueden en cierta manera ser contemplados como tales, de manera que 'el género se termina en la casi-especie opuesta'..."

"Desde cualquier punto de vista que se contemplen las cosas, no se ve en absoluto cómo una cierta especie podría ser un 'caso-límite' de la especie o del género opuesto... Una concepción tal de continuidad, que llega a suprimir no solamente toda separación, sino incluso toda distinción efectiva, permitiendo el paso directo de un género a otro sin reducción a un género superior o más general, es propiamente la negación misma de todo principio verdaderamente lógico; de aquí a la afirmación hegeliana de la 'identidad de los contradictorios', no hay más que un paso no muy difícil de cruzar." (cap. XIII).

"La justificación del 'paso al límite' consiste en suma, para Leibnitz, en que el caso particular de las 'cantidades evanescentes', como él las llama, debe, en virtud de la continuidad, entrar, en cierto sentido, en la regla general... La expresión de 'cantidades evanescentes' tiene sobre todo el defecto de prestarse a una equivocación, y hacer creer que se considera las cantidades infinitesimales como cantidades que se anulan efectivamente, pues, a menos de cambiar el sentido de las palabras, es difícil entender que 'desvanecerse', cuando se trata de cantidades, pueda querer decir otra cosa que anularse. En realidad, estas cantidades infinitesimales, entendidas como cantidades indefinidamente decrecientes, lo cual es su verdadero significado, no pueden nunca llamarse 'evanescentes' en el sentido propio de la palabra, y hubiera sido ciertamente preferible no introducir esta noción, la cual, en el fondo, se refiere a la concepción que Leibnitz se hacía de la continuidad, y que, como tal, lleva consigo inevitablemente el elemento de contradicción que es inherente a la falta de lógica de esta concepción. Ahora, si un error, aún pudiendo hacerse tan pequeño como se quiera, no puede nunca llegar a ser absolutamente nulo, ¿cómo podrá ser verdaderamente riguroso el cálculo infinitesimal?, y, si de hecho el error no es más que prácticamente despreciable, ¿habrá que inferir de ello que el cálculo se reduce a un simple método de aproximación?... He aquí una cuestión que tendremos aún que resolver más adelante..." (cap. XIV).

"El decrecimiento indefinido de los números no puede llegar a un 'número nulo' de igual manera que su crecimiento indefinido no puede llegar tampoco a un 'número infinito', y ello por la misma razón, pues uno de estos números debería ser el inverso del otro; en efecto, según lo que hemos dicho anteriormente a propósito de los números inversos, que están igualmente alejados de la unidad en las dos series, una creciente y la otra decreciente, que tienen como punto de arranque común esta unidad, y como hay necesariamente igual número de términos en una de estas series que en la otra, los últimos términos, que serían el 'número infinito' y el 'número nulo', deberían ellos mismos, si existieran, estar igualmente alejados de la unidad, así pues ser inversos uno del otro. En estas condiciones, si el signo ∞ no es en realidad más que el símbolo de las cantidades indefinidamente crecientes, el signo 0 debería lógicamente poder ser tomado igualmente como símbolo de las cantidades indefinidamente decrecientes, con el fin de expresar en la notación la simetría que existe... entre unas y otras; pero, desgraciadamente, este signo 0 tiene ya otro significado, puesto que sirve originariamente para designar la ausencia de toda cantidad, mientras que el signo ∞ no tiene ningún sentido real que corresponda a aquéllas. He aquí una nueva fuente de confusiones... y haría falta, para evitarlas, crear para las cantidades indefinidamente decrecientes otro símbolo diferente de cero..."

"Si insistimos sobre esta observación de que el cero, en tanto que representa la ausencia de toda cantidad, no es un número y no puede ser considerado como tal... es porque, desde el momento que se admite la existencia de un 'número nulo', que debe ser el 'más pequeño de los números', se está forzosamente obligado a suponer correlativamente, como su inverso, un 'número infinito', en el sentido del 'más grande de los números'... pero es precisamente este postulado el que debemos desechar, ya que, si las consecuencias que se deducen de él son contradictorias, y hemos visto que la existencia del 'número infinito' lo es efectivamente, es porque, en sí mismo, implica ya contradicción. En efecto, la negación de la cantidad no puede de ninguna manera ser asimilada a una cantidad... pretender lo contrario, es sostener que algo puede ser, siguiendo la expresión de Leibnitz, 'equivalente a una especie de su contradictorio'... Desde el momento que éste es el verdadero sentido del cero aritmético tomado 'en rigor', es evidente que este sentido no tiene nada en común con la noción de las cantidades indefinidamente decrecientes, que son siempre cantidades, y no una ausencia de cantidad..."

"Podemos volver ahora al otro significado que el cero tiene de hecho en la notación habitual, con el fin de ver cómo se han podido introducir las confusiones de las que hemos hablado: hemos dicho anteriormente que un número puede ser contemplado en cierta manera como prácticamente indefinido desde el momento que no nos es posible expresarlo o representarlo de forma distinta... tal número... podrá solamente, en el orden creciente, ser simbolizado por el signo ∞, en tanto que éste representa lo indefinidamente grande; no se trata pues aquí de un número determinado, sino de todo un dominio... Falta, en la notación matemática, otro símbolo para representar el dominio que corresponde a éste en el orden decreciente, es decir lo que se puede llamar el dominio de lo indefinidamente pequeño; pero, como un número que pertenezca a este dominio es, de hecho, despreciable en los cálculos, se ha tomado la costumbre de considerarlo como prácticamente nulo... y es sin duda por esta razón que se ha llegado a simbolizarlo mediante el mismo signo 0 que representa por otra parte la ausencia rigurosa de toda cantidad. Es solamente en este sentido que el signo 0 es en cierta manera simétrico del signo ∞, y que pueden ser colocados respectivamente en los dos extremos de la serie de los números... enteros y sus inversos... Esta serie se presenta entonces bajo la forma siguiente:

0 ... ... 1/4, 1/3, 1/2, 1, 2, 3, 4 ... ... ∞ ;

pero hay que tener mucho cuidado con que 0 e ∞ representan dos dominios indefinidos en los cuales no podría haber últimos términos, y no dos números determinados, que terminarían la serie en ambos sentidos... es evidente que el cero no podría ser aquí un 'número nulo', que sería un último término en la serie decreciente, ni una negación o ausencia de toda cantidad..."

"... Se ve además muy claramente aquí... que el símbolo ∞ no representa al Infinito, ya que el Infinito, en su verdadero sentido, no puede tener ni opuesto ni complementario, y no puede entrar en correlación con cualquier cosa que sea, como tampoco con el cero... ni con la unidad ni con ningún número cualquiera, ni por otra parte con algo particular del orden que sea, cuantitativo o no; al ser el Todo universal y absoluto, contiene tanto al No-Ser como al Ser, de manera que el cero mismo, desde el momento que no es contemplado como pura nada, debe necesariamente ser considerado como comprendido en el Infinito."

"Al hacer alusión aquí al No-Ser, tocaremos otro significado del cero, completamente diferente de los que hemos contemplado, y que es el más importante desde el punto de vista de su simbolismo metafísico... precisando... para evitar toda confusión... que el Cero metafísico, que es el No-Ser, no es el cero cantidad, como la Unidad metafísica, que es el Ser, no es la unidad aritmética... puesto que, desde el momento que nos situamos en lo Universal, se está evidentemente más allá de todo dominio especial como el de la cantidad... el cero... como símbolo del No-Ser... representa la ausencia de cantidad, que simboliza en efecto en su orden la posibilidad de no-manifestación, de igual manera que la unidad simboliza la posibilidad de manifestación... como el Ser es el principio de toda manifestación."

"Esto nos lleva todavía a observar que... es verdaderamente extraño que los matemáticos tengan generalmente la costumbre de contemplar el cero como pura nada, y que sin embargo les sea imposible no contemplarlo al mismo tiempo como dotado de un poder indefinido, puesto que, colocado a la derecha de otra cifra llamada 'significativa' contribuye a formar la representación de un número que... puede crecer indefinidamente, como es... en el caso del número diez y sus potencias sucesivas. Si realmente el cero no fuera más que pura nada, no podría ser esto así... hay pues aquí, en las concepciones matemáticas modernas, otra inconsecuencia a añadir a todas las que hemos tenido ocasión de señalar hasta ahora." (cap. XV).