LOS PRINCIPIOS DEL CALCULO INFINITESIMAL

CAPITULO II
LA CONTRADICCION DEL "NUMERO INFINITO"

La imposibilidad del "número infinito" puede además establecerse por diversos argumentos; Leibnitz, que por lo menos la reconocía claramente¹, empleaba el que consiste en comparar la sucesión de los números pares con la de todos los números enteros: a todo número corresponde otro número que es igual al doble de aquel, de manera que se puede hacer corresponder las dos series término a término, de donde resulta que el número de términos debe de ser el mismo en ambas; pero, por otra parte, hay evidentemente dos veces más números enteros que números pares, ya que los números pares se sitúan de dos en dos en la sucesión de los números enteros; se llega pues así a una contradicción manifiesta. Se puede hacer general este argumento tomando, en lugar de la serie de los números pares, es decir de los múltiplos de dos, la de los múltiplos de un número cualquiera, y el razonamiento es idéntico; se puede coger todavía de la misma manera la serie de los cuadrados de los números enteros², o, de forma más general, la de sus potencias de un exponente cualquiera. En todos los casos, la conclusión a la que se llega es siempre la misma: que una serie que no comprende sino una parte de los números enteros debería tener el mismo número de términos que la que los comprende a todos, lo que equivaldría a decir que el todo no sería más grande que una de sus partes; y, desde el momento que se admite que hay un número de todos los números, es imposible escapar a esta contradicción. Sin embargo, algunos han creído poder escapar de ella admitiendo al mismo tiempo que hay números a partir de los cuales la multiplicación por un cierto número o la elevación a una cierta potencia no sería ya posible, porque daría un resultado que iría más allá del pretendido "número infinito"; hay incluso quienes han llegado a considerar en efecto números llamados "mayores que el infinito", de donde las teorías como la del "transfinito" de Cantor, que pueden ser muy ingeniosas, pero que no son válidas lógicamente³: ¿es concebible que se pueda pensar en llamar "infinito" a un número que es, por el contrario, de tal manera "finito" que ni siquiera es el mayor de todos? Por otra parte, con teorías semejantes, habría números a los cuales ya no podría aplicárseles ninguna de las reglas del cálculo ordinario, es decir, en una palabra, números que no serían verdaderamente números, y a los que no se les llamaría así sino por convenio⁴; es lo que ocurre forzosamente cuando, buscando concebir el "número infinito" de otra manera que como el mayor de los números, se considera diferentes "números infinitos" supuestos desiguales entre ellos, y a los que se atribuye propiedades que no tienen nada en común con las de los números ordinarios; así, no se escapa de una contradicción sino para caer en otras, y, en el fondo, todo ello no es sino el producto del "convencionalismo" más vacío de sentido que se pueda imaginar.

Así, la idea del pretendido "número infinito", de la forma que se presente y con el nombre que se la quiera designar, contiene siempre elementos contradictorios; por otra parte, no hay ninguna necesidad de esta suposición absurda desde el momento que se hace una justa concepción de lo que es realmente la "indefinición" del número, y se reconoce además que el número, a pesar de su "indefinición", no es de manera alguna aplicable a todo lo que existe. No insistiremos aquí sobre este último punto, al haberlo explicado ya suficientemente en otra parte: el número no es sino un modo de la cantidad, y la cantidad misma no es sino una categoría o un modo especial del ser, no "coextensivo" a éste, o, para ser más precisos todavía, no es sino una condición propia de un cierto estado de existencia en el conjunto de la existencia universal; pero esto es justamente lo que a la mayoría de los modernos les cuesta trabajo comprender, acostumbrados como están a querer reducir todo a la cantidad e incluso a valorar todo numéricamente⁵. Sin embargo, en el dominio mismo de la cantidad, hay cosas que se escapan al número, como veremos a propósito de lo continuo; e, incluso solamente sin salir de la consideración de la cantidad discontinua, se está ya obligado a admitir, al menos implícitamente, que el número no es aplicable a todo, cuando se reconoce que la multitud de todos los números no puede constituir un número, lo cual, por lo demás, no es en suma sino una aplicación de esta verdad incontestable: que lo que limita un cierto orden de posibilidades debe estar necesariamente fuera y más allá de éste⁶. Al menos, debe entenderse bien que a una multitud tal, bien sea considerada en lo discontinuo, como es el caso cuando se trata de la serie de los números, o bien en lo continuo, sobre lo cual tendremos que volver un poco más adelante, no puede de ningún modo decírsele infinita, ni que haya en ella otra cosa que lo indefinido; es por otra parte esta noción de multitud la que ahora vamos a tener que examinar más de cerca.

Leibnitz, como hemos visto, no admite en modo alguno el "número infinito", ya que dice por el contrario expresamente que éste, se entienda como se entienda, implica contradicción; pero, en cambio, admite lo que llama una "multitud infinita", sin precisar, como lo habrían hecho por lo menos los escolásticos, que quizás, en todo caso, no se trata aquí sino de un infinitum secundum quid; y, para él, la serie de los números es un ejemplo de tal multitud. Sin embargo, por otro lado, en el dominio cuantitativo, e incluso en lo que concierne a la magnitud continua, la idea del infinito le parece, al menos, sospechosa de contradicción, pues, lejos de ser una idea adecuada, implica inevitablemente cierta parte de confusión, y no podemos estar seguros de que una idea no implica contradicción alguna más que cuando concebimos en ella de modo distinto todos los elementos⁷; esto apenas permite conceder a esta idea más que un carácter "simbólico", diríamos más bien "representativo", y es por lo que él no se atrevió nunca, como lo veremos más adelante, a pronunciarse claramente sobre la realidad de los "infinitamente pequeños"; pero este mismo obstáculo y esta actitud dubitativa hacen resaltar todavía mejor la carencia de principio que le hacía admitir que se pueda hablar de una "multitud infinita". Según esto, podría preguntarse también si no pensaba que una tal multitud, para ser "infinita" como dice, no debía solamente no ser "numerable", lo cual es evidente, sino que incluso no debía ser en modo alguno cuantitativa, tomando la cantidad en toda su extensión y bajo todos sus modos; esto podría ser verdadero en ciertos casos, pero no en todos; de cualquier modo, he aquí todavía un asunto sobre el cual no se explicó nunca claramente.

La idea de una multitud que sobrepasa todo número, y que por consiguiente no es un número, parece haber sorprendido a la mayoría de aquellos que han discutido las concepciones de Leibnitz, bien sean "finitistas" o "infinitistas"; sin embargo dicha idea, lejos de pertenecer a Leibnitz, como parecen haberlo creído por lo general, era, por el contrario, una idea de lo más corriente entre los escolásticos⁸. Esta idea comprendía propiamente todo lo que no es ni número ni "numerable", es decir todo lo que no depende de la cantidad discontinua, se trate de cosas que pertenecen a otros modos de la cantidad o de lo que está totalmente fuera del dominio cuantitativo, pues se trataba de una idea del orden de los "transcendentes", es decir de los modos generales del ser, que, contrariamente a sus modos especiales como la cantidad, le son "coextensivos"⁹. Esto es lo que permite hablar, por ejemplo, de la multitud de atributos divinos, o de la multitud de ángeles, es decir de seres que pertenecen a estados que no están sometidos a la cantidad y en donde, por consiguiente, no puede tratarse del número; es también lo que nos permite considerar los estados del ser o los grados de la existencia, múltiples o en multitud indefinida, ya que la cantidad no es mas que una condición especial de uno solo de ellos. Por otra parte, siendo la idea de multitud, al contrario de la de número, aplicable a todo lo que existe, debe haber forzosamente multitudes de orden cuantitativo, especialmente en lo que concierne a la cantidad continua, y es por lo que decíamos antes que no sería verdad en todos los casos considerar la susodicha "multitud infinita", es decir la que sobrepasa a todo número, totalmente fuera del dominio de la cantidad. Mucho más: el mismo número puede verse también como una especie de multitud, pero con la condición de añadir que es una "multitud medida por la unidad", según la expresión de santo Tomás de Aquino; cualquier otro tipo de multitud, que no sea "numerable", es "no-medible", es decir que no es infinita sino propiamente indefinida.

Al respecto, conviene señalar un hecho bastante singular: para Leibnitz, esta multitud, que no constituye un número, es sin embargo un "resultado de unidades"¹⁰; ¿qué hay que entender por esto, y de qué unidades puede tratarse? Esta palabra unidad puede ser tomada en dos sentidos completamente diferentes: por una parte está la unidad aritmética o cuantitativa, que es el elemento primero y el punto de partida del número, y por otra lo que se designa analógicamente como la Unidad metafísica, que se identifica con el Ser mismo; fuera de éstas, no vemos que haya aquí otra acepción posible; pero por otra parte, cuando se habla aquí de "unidades", empleando esta palabra en plural, no puede ser evidentemente mas que en sentido cuantitativo. Solamente que, si esto es así, la suma de las unidades no puede ser otra cosa que un número, y no puede sobrepasar en modo alguno al número; es verdad que Leibnitz dice "resultado" y no "suma", pero esta distinción, incluso si ha sido voluntaria, no evita por ello que subsista una enojosa oscuridad. Por lo demás, declara por otra parte que la multitud, sin ser un número, es concebida no obstante por analogía con él: "Cuando hay más cosas, dice, que no pueden estar comprendidas por ningún número, les atribuimos sin embargo analógicamente un número, que llamamos infinito", aunque en este caso esto no sea sino una "manera de hablar", un "modus loquendi"¹¹, e incluso, bajo este aspecto, una manera de hablar muy incorrecta, ya que en realidad no es en modo alguno un número; pero, cualesquiera que sean las imperfecciones de la expresión y las confusiones a las que pueda dar lugar, debemos admitir que, en todo caso, en el fondo de su pensamiento no había seguramente una identificación de la multitud con el número.

Otro punto al que Leibnitz parece conceder gran importancia es que el "infinito", tal como lo concibe, no constituye un todo¹²; he aquí una condición que ve como necesaria para que dicha idea escape a la contradicción, pero he aquí también otro punto que no deja de estar todavía medianamente oscuro. Hay motivo para preguntarse de qué tipo de "todo" se trata aquí, y es necesario antes de nada descartar completamente la idea del Todo universal, que es por el contrario, como lo hemos dicho desde el comienzo, el Infinito metafísico mismo, es decir el único Infinito verdadero, y que no podría de ninguna manera ser puesto en tela de juicio; en efecto, ya sea que se trate de lo continuo o de lo discontinuo, la "multitud infinita" que contempla Leibnitz se mantiene, en todos los casos, en un dominio restringido y contingente, de orden cosmológico y no metafísico. Se trata evidentemente, por otra parte, de un todo concebido como compuesto de partes, mientras que, como lo hemos explicado en otro lugar¹³, el Todo universal es propiamente "sin partes", en razón misma de su infinitud, ya que, debiendo ser necesariamente esas partes relativas y finitas, no podrían tener con él ninguna relación real, lo que de nuevo indica que no existen para él. Debemos pues limitarnos, en cuanto al tema expuesto, a la consideración de un todo particular; pero aquí todavía, y precisamente en lo que concierne al modo en el que el tal todo está compuesto y a su relación con sus partes, hay dos casos a contemplar, correspondientes a dos acepciones muy diferentes de esta palabra "todo". En primer lugar, si se trata de un todo que no es nada más ni otra cosa que la simple suma de sus partes, de las que está compuesto a modo de una suma aritmética, lo que dice Leibnitz es evidente en el fondo, ya que este modo de formación es precisamente el que es propio del número, y no nos permite ir más allá del número; pero, a decir verdad, esta noción, lejos de representar la única manera en que puede ser concebido un todo, ni siquiera es la de un todo verdadero en el sentido más riguroso de esta palabra. En efecto, un todo que no es más que la suma o el resultado de sus partes, y que, por consecuencia, es lógicamente posterior a ellas, no es otra cosa, en tanto que todo, más que un ens rationis, pues no es "uno" y "todo" sino en la medida que lo concebimos como tal; en sí mismo no es propiamente hablando más que una "colección", y somos nosotros con nuestro modo de verlo quienes le otorgamos, en un cierto sentido relativo, los caracteres de unidad y de totalidad. Por el contrario, un todo verdadero, en posesión de estos caracteres por su misma naturaleza, debe ser lógicamente anterior a sus partes e independiente de ellas: tal es el caso de un conjunto continuo, que podemos dividir en partes arbitrarias, es decir de un tamaño cualquiera, pero que no presupone en modo alguno la existencia actual de estas partes; aquí somos nosotros los que damos una realidad a las partes como tales, mediante una división ideal o efectiva, y así este caso es exactamente inverso del anterior.

Ahora, todo el asunto se reduce a saber si, cuando Leibnitz dice que "el infinito no es un todo", excluye también este segundo sentido del mismo modo que el primero; así lo parece, e incluso es probable, ya que es el único caso en el que un todo sea verdaderamente "uno", y que el infinito, según él, no es "nec unum, nec totum". Lo que lo confirma además, es que este caso, y no el primero, es el que se aplica a un ser vivo o a un organismo cuando se le considera bajo el punto de vista de la totalidad; pues bien, Leibnitz dice: "Incluso el Universo no es un todo, y no debe ser concebido como un animal cuya alma es Dios, como hacían los antiguos"¹⁴. Sin embargo, si esto es así, no se ve demasiado bien cómo las ideas de lo infinito y de lo continuo pueden ser conexas como lo son para él las más de las veces, pues la idea de lo continuo depende precisamente, en cierto sentido al menos, de esta segunda concepción de la totalidad; pero éste es un punto que se podrá comprender mejor luego. Lo cierto en todo caso, es que, si Leibnitz hubiera concebido el tercer sentido de la palabra "todo", sentido puramente metafísico y superior a los otros dos, es decir la idea del Todo universal tal como la hemos expuesto antes, no habría podido decir que la idea de infinito excluye la totalidad, pues declara por otra parte: "El infinito real es quizás el absoluto mismo, que no está compuesto de partes, pero que, teniendo partes, las comprende por razón eminente y como en grado de perfección"¹⁵. Hay aquí al menos un "destello", podría decirse, pues esta vez, como a modo de excepción, toma la palabra "infinito" en su verdadero sentido, aunque se equivoque al decir que este infinito "tiene partes", se entienda por ello lo que se entienda; pero es extraño que entonces no exprese todavía su pensamiento más que bajo una forma dubitativa y embarazosa, como si no tuviera una idea fija del significado de esta idea; y quizás no la tuvo nunca en efecto, pues de otra manera no se explicaría que la hubiese tergiversado tan a menudo, y que sea a veces tan difícil, cuando habla de infinito, saber si su intención ha sido tomar este término "en rigor", aunque fuera de forma equivocada, o si no ha visto en ello mas que una simple "manera de hablar".