Los matemáticos, en la época moderna, y más particularmente todavía en la época contemporánea, parecen haber llegado a ignorar lo que es verdaderamente el número; y no hablamos solamente aquí del número tomado en sentido analógico y simbólico como lo entendían los Pitagóricos y los Cabalistas, lo que es demasiado evidente, sino incluso, lo que puede parecer más extraño y casi paradójico, del número en su acepción simple y propiamente cuantitativa. En efecto, reducen toda su ciencia al cálculo, según la concepción más estrecha que se pueda hacer de ella, es decir la consideran como un simple conjunto de procedimientos más o menos artificiales que no valen, en suma, más que por las aplicaciones prácticas a las que dan lugar; en el fondo, esto equivale a decir que reemplazan el número por la cifra, y esta confusión del número con la cifra está tan extendida en nuestros días que se la puede encontrar fácilmente a cada momento hasta en las expresiones del lenguaje corriente.² Ahora bien la cifra no es, hablando con todo rigor, nada más que el vestido del número; no decimos incluso su cuerpo, pues es más bien la forma geométrica la que, en ciertos aspectos, puede ser legítimamente considerada como constitutiva del verdadero cuerpo del número, como lo muestran las teorías de los antiguos sobre los polígonos y los poliedros, puestos en relación directa con el simbolismo de los números; y esto concuerda por otra parte con el hecho de que toda "incorporación" implica necesariamente una "espacialización". Sin embargo, no queremos decir que las cifras sean signos enteramente arbitrarios, cuya forma no habría sido determinada sino por la fantasía de uno o varios individuos; debe haber caracteres numéricos como caracteres alfabéticos, de los cuales no se distinguen por otra parte en ciertas lenguas,³ y puede aplicarse a los unos tanto como a los otros la noción de un origen jeroglífico, es decir ideográfico o simbólico, que vale para todas las escrituras sin excepción, por muy disimulado que este origen pueda estar en ciertos casos por deformaciones o alteraciones más o menos recientes.

Lo cierto es que los matemáticos emplean en sus algoritmos símbolos de los cuales no conocen ya el sentido, y que son como vestigios de tradiciones olvidadas; y lo más grave es que no solamente no se preguntan cuál puede ser este sentido sino que parecen no querer incluso que lo haya. En efecto, tienden cada vez más a ver todo sistema de signos como una simple "convención", entendiendo por esto algo que es establecido de una manera totalmente arbitraria, lo cual, en el fondo, es una verdadera imposibilidad, pues no se hace nunca convención alguna sin tener alguna razón para hacerla, y hacer precisamente ésta más bien que cualquier otra; sólo puede parecer arbitraria dicha convención a aquellos que ignoran esta razón, de la misma manera que no es sino a aquellos que ignoran las causas de un acontecimiento que éste puede parecer "fortuito"; esto es lo que sucede aquí, y que nos muestra una de las consecuencias extremas de la ausencia de todo principio, llegando hasta a hacer perder a la ciencia, o a la tal susodicha, ya que entonces no merece verdaderamente este nombre bajo ningún concepto, toda significación plausible. Por otra parte, por el propio hecho de la concepción actual de una ciencia exclusivamente cuantitativa, dicho "convencionalismo" se extiende poco a poco desde las matemáticas hasta las ciencias físicas, en sus teorías más recientes, que se alejan así cada vez más de la realidad que pretenden explicar; hemos insistido suficientemente sobre el particular en otra obra como para dispensarnos de decir más al respecto, tanto más cuanto que es de las matemáticas que vamos a ocuparnos ahora más particularmente. Desde este punto de vista, solamente añadiremos que, cuando se pierde de vista de tal manera el sentido de una notación, es muy fácil pasar del uso legítimo y válido de ésta a un uso ilegítimo, que no corresponde efectivamente a nada, y que puede incluso ser a veces totalmente ilógico; lo que tratándose de una ciencia como las matemáticas, que debería tener con la lógica lazos particularmente estrechos, puede parecer sorprendente, y sin embargo es totalmente cierto que se puede descubrir múltiples sentidos ilógicos en las nociones matemáticas tal como se las contempla comúnmente en nuestra época.

Uno de los ejemplos más notables de estas nociones ilógicas, y el que tendremos que considerar aquí ante todo, aunque no sea el único con el que nos encontraremos en el curso de nuestra exposición, es el del pretendido infinito matemático o cuantitativo, que es la fuente de casi todas las dificultades que han sido promovidas contra el cálculo infinitesimal, o, quizás más exactamente, contra el método infinitesimal, pues hay algo aquí que, independientemente de lo que puedan pensar al respecto los "convencionalistas", va más allá del alcance de un simple "cálculo" en el sentido ordinario de esta palabra; no hay excepción que valga salvo para aquellas de dichas dificultades que provienen de una concepción errónea o insuficiente de la noción de "límite", indispensable para justificar el rigor de este método infinitesimal y hacer de él otra cosa que un simple método de aproximación. Hay por otra parte, como veremos, que hacer una distinción entre los casos en los cuales el susodicho infinito no expresa sino un absurdo puro y simple, es decir una idea contradictoria en sí misma, como la de "número infinito", y aquellos en los que solamente está empleado de una manera abusiva en el sentido de indefinido; pero no habría que creer por esto que la propia confusión entre infinito e indefinido se reduzca a una simple cuestión de palabras, pues ella incumbe verdaderamente a las ideas mismas. Lo curioso es que esta confusión, que hubiera bastado disipar para cortar de raíz tantas discusiones, haya sido cometida por el propio Leibnitz, que generalmente es considerado como el inventor del cálculo infinitesimal, y que nosotros llamaríamos más bien su "formulador", pues este método corresponde a ciertas realidades, que, como tales, tienen una existencia independiente de aquél que las concibe y expresa con más o menos perfección; las realidades del orden matemático no pueden, como todas las otras, más que ser descubiertas y no inventadas, mientras que, por el contrario, se trata realmente de "invención" cuando, como ocurre muy frecuentemente en este dominio, se deja uno arrastrar, por el hecho de un "juego" de notación, a la fantasía pura; pero ciertamente sería muy difícil hacer comprender esta diferencia a matemáticos que se imaginan de buena gana que toda su ciencia no es y no debe ser nada más que una "construcción del espíritu humano", lo cual, si hubiera que creerles al respecto, ¡la reduciría ciertamente a ser bien poca cosa en verdad! Sea ello como sea, Leibnitz no supo nunca explicarse claramente sobre los principios de su cálculo, y esto es precisamente lo que indica que había en ello algo que le rebasaba y que en cierto modo se imponía a él sin que tuviera conciencia de ello; si se hubiera dado cuenta de esto, seguramente no se habría involucrado al respecto en una disputa de "prioridad" con Newton, y por otra parte estos tipos de disputas son siempre totalmente vanos, pues las ideas, en tanto que son verdaderas, no podrían ser propiedad de nadie, a pesar del "individualismo" moderno, y solamente el error puede ser atribuido propiamente a los individuos humanos. No nos extenderemos más sobre el particular, que podría alejarnos bastante del objeto de nuestro estudio, aunque quizás no sea inútil, bajo ciertos aspectos, hacer entender que el papel de lo que se denomina los "grandes hombres" es frecuentemente, para muchos de ellos, un papel de "receptores", a pesar de que ellos mismos sean generalmente los primeros en ilusionarse sobre su "originalidad".

Lo que nos concierne directamente por el momento, es esto: si constatamos tales insuficiencias en Leibnitz, e insuficiencias tanto más graves cuanto que atañen sobre todo a las cuestiones de los principios, ¿qué será al respecto en los otros filósofos y matemáticos modernos, a los que es ciertamente muy superior a pesar de todo? Esta superioridad, la debe, por una parte, al estudio que había hecho de las doctrinas escolásticas de la Edad Media, aunque no siempre las haya entendido completamente, y, por otra parte, a ciertas ideas esotéricas, de origen o de inspiración principalmente rosacruz⁴, ideas evidentemente muy incompletas e incluso fragmentarias, y que además aplicaba a veces bastante mal, como veremos algunos ejemplos en este mismo estudio; es a estas dos fuentes, hablando como los historiadores, que conviene remitir, en definitiva, más o menos todo lo que hay de realmente válido en sus teorías, y esto es también lo que le permite reaccionar, aunque imperfectamente, contra el cartesianismo, que representaba entonces, en el doble campo filosófico y científico, todo el conjunto de tendencias y concepciones más específicamente modernas. Esta indicación basta para explicar, en pocas palabras, todo lo que hizo Leibnitz, y, si se quiere entenderle, no habría nunca que perder de vista estas observaciones generales, que hemos creído oportuno, por esta razón, formular desde el comienzo; pero es hora de dejar estas consideraciones preliminares para entrar en el examen de las cuestiones que nos permitirán determinar el verdadero significado del cálculo infinitesimal.