A menudo hemos tenido ocasión de hacer observar que la mayoría de las ciencias profanas, las únicas que los modernos conocen o incluso conciben como posibles, no representan en realidad más que simples residuos desnaturalizados de las antiguas ciencias tradicionales; y lo que se refiere a la parte más inferior de éstas, ha llegado a tomar un desarrollo independiente y a ser considerada como un conocimiento que se basta a sí mismo, no relacionándose ya con los principios, y habiendo perdido por ello su verdadera significación original. Las matemáticas modernas no son una excepción en este aspecto, si se las compara a lo que eran para los antiguos la ciencia de los números y la geometría; y, cuando hablamos aquí de los antiguos, hay que comprender incluso la antigüedad "clásica", siendo suficiente para mostrarlo un mínimo estudio de las teorías pitagóricas y platónicas, o como lo sería al menos, si no hubiera que contar con la extraordinaria incomprensión de aquellos que hoy pretenden interpretarlas; si esta incomprensión no fuera tan absoluta, ¿cómo se podría sostener, por ejemplo, la opinión de un origen "empírico" de las ciencias de las que se trata, si, en realidad, éstas aparecen al contrario tanto más alejadas de cualquier "empirismo" cuanto más alto se remontan, como sucede asimismo en cualquier otra rama del conocimiento? 

Los matemáticos, en la época moderna, parece han llegado a ignorar lo que es verdaderamente el número, ya que reducen toda su ciencia al cálculo, que es para ellos un simple conjunto de procedimientos más o menos artificiales, lo que, en suma, viene a decir que reemplazan el número por la cifra; por lo demás, esta confusión del número con la cifra está tan extendida en nuestros días que podemos encontrarla a cada instante hasta en expresiones del lenguaje corriente. Ahora bien, la cifra no es propiamente sino el vestido del número; no decimos ni siquiera su cuerpo, ya que es más bien la forma geométrica la que, desde cierto punto de vista, puede ser legítimamente considerada como el verdadero cuerpo del número, como lo muestran las teorías de los antiguos sobre los polígonos y los poliedros, relacionados directamente con el simbolismo de los números. No queremos decir, sin embargo, que las mismas cifras sean signos totalmente arbitrarios, cuya forma hubiera sido determinada únicamente por la fantasía de uno o varios individuos; tiene que haber caracteres numéricos así como hay caracteres alfabéticos, que además coinciden en ciertas lenguas, y se puede aplicar tanto a unos como a otros la noción de un origen jeroglífico, es decir, ideográfico o simbólico, que sirve para todas las escrituras sin excepción. 

Lo que es cierto, es que los matemáticos emplean en sus notaciones símbolos de los que ya no conocen el sentido, y que son como vestigios de tradiciones olvidadas; y lo que es más grave, es que no solamente no se preguntan cual puede ser su sentido, sino que incluso parece que no quisieran que hubiera tal. En efecto, tienden cada vez más a mirar toda notación como una simple "convención", entendiendo por ello algo que se enuncia de manera totalmente arbitraria, lo que, en el fondo, es una verdadera imposibilidad, ya que no se establece jamás una convención sin que haya alguna razón para ello, estableciéndose precisamente esa antes que cualquier otra; solamente a aquellos que ignoran esta razón la convención puede parecerles arbitraria, siendo esto exactamente lo que sucede aquí. En un caso así, es extremadamente fácil pasar del uso legítimo y válido de una notación a su uso ilegítimo, que no corresponde ya a nada real, y que puede incluso a veces resultar totalmente ilógico; esto puede parecer extraño tratándose de una ciencia como las matemáticas, que debería tener lazos especialmente estrechos con la lógica, y sin embargo es muy cierto que se pueden señalar múltiples ilogismos en las nociones matemáticas tal como se consideran normalmente. 

Uno de los ejemplos más chocantes de estas ilógicas nociones, es el del pretendido infinito matemático, que, como hemos explicado ampliamente en otras ocasiones, no es y no puede ser en realidad más que lo indefinido; y no se debiera creer que esta confusión entre infinito e indefinido se reduce a una simple cuestión de palabras. Lo que los matemáticos representan con el signo ¥ no puede de ninguna manera ser el Infinito entendido en su verdadero sentido; este mismo signo ¥ es una figura cerrada, luego visiblemente acabada, así como lo es el círculo del que algunos han querido hacer un símbolo de la eternidad, mientras que no puede ser sino una figuración de un ciclo temporal, indefinido solamente en su orden, es decir lo que se llama propiamente la perpetuidad; y es fácil ver que esta confusión entre eternidad y perpetuidad se emparenta fácilmente con aquella entre infinito e indefinido. De hecho, lo indefinido no es más que un desarrollo de lo finito; pero de éste no se puede hacer salir el Infinito, que por otra parte no podría ser cuantitativo, ni nada que fuera determinado, ya que la cantidad, no siendo sino un modo especial de realidad, está por ello mismo limitada esencialmente. Por otra parte, la idea de un número infinito, es decir, según la definición que dan los matemáticos, de un número mayor que cualquier otro, es una idea contradictoria en sí misma, ya que, por grande que sea un número N, el número N+1 será siempre mayor, en virtud de la ley misma de la formación de la serie indefinida de los números; y de esta contradicción se han originado muchas otras, como por otra parte lo han subrayado ciertos filósofos que sin embargo no siempre han comprendido bien el verdadero alcance de esta argumentación, habiendo quien ha creído poder aplicar al Infinito metafísico incluso lo que no conduce más que al falso infinito matemático, cometiendo así otra vez, aunque en sentido contrario, la misma confusión que sus adversarios. Es evidentemente absurdo querer definir el Infinito, ya que toda definición es necesariamente una limitación, como las propias palabras lo demuestran claramente, y el Infinito es lo que no tiene límites; intentar hacerlo entrar en una fórmula, es decir, en definitiva, revestirlo de una forma, es esforzarse en hacer entrar al Todo universal en uno de los elementos más ínfimos comprendidos en él, lo que es manifiestamente imposible; en fin, concebir el Infinito como una cantidad, no es solamente limitarlo como acabamos de decir, sino que además es, por añadidura, concebirlo como susceptible de aumento o disminución, lo que no es menos absurdo. Con semejantes consideraciones, se llega rápido a vislumbrar varios infinitos que coexisten sin confundirse ni excluirse, infinitos que son mayores o menores unos de otros, e incluso, al no ser suficiente ya el infinito, se inventa el "trans-finito", es decir el ámbito de los números mayores que el infinito: tantas palabras como absurdos, incluso respecto a la simple lógica elemental. Hablamos aquí de "invención" intencionadamente, ya que, si las realidades de orden matemático no pueden, como cualquier otra realidad, más que ser descubiertas y no inventadas, está claro que no es lo mismo que dejarse llevar, por un "juego" de notación, al ámbito de la pura fantasía; pero ¿cómo se podría esperar hacer comprender esta diferencia a matemáticos que se imaginan de buen grado que toda su ciencia no es y no debe ser más que una "construcción del espíritu humano"?, de creerles, seguramente esta diferencia se reduciría a muy poca cosa en realidad. 

Aquello que hemos dicho para lo infinitamente grande, o lo que se dice como tal, es igualmente válido para lo llamado, no menos impropiamente, lo infinitamente pequeño: por pequeño que sea un número 1/N, el número 1/N+1 será todavía menor; volveremos más adelante sobre el sentido que conviene atribuir exactamente a esta notación. No hay pues en realidad ni infinitamente grande ni infinitamente pequeño, pero se puede considerar la serie de los números como creciendo o decreciendo indefinidamente, de manera que el pretendido infinito matemático no es otra cosa que lo indefinido, que, repitámoslo de nuevo, procede de lo finito y es, en consecuencia, siempre reductible. Lo indefinido es por lo tanto todavía finito, es decir, limitado; incluso si desconocemos los límites o somos incapaces de determinarlos, sabemos sin embargo que estos límites existen, ya que todo indefinido no es sino un cierto orden de cosas, limitado por la existencia misma de otras cosas fuera de él. Evidentemente, por esto mismo, podemos considerar una multitud de indefinidos; se pueden incluso sumar unos y otros, o multiplicarlos entre sí, lo que conduce naturalmente a considerar indefinidos de distinta magnitud, e incluso de distinto orden de indefinición, ya sea en el sentido creciente o en el decreciente. Por ello es fácil comprender lo que realmente significan los absurdos que señalábamos anteriormente, y que dejan de ser absurdos cuando se reemplaza el pretendido infinito matemático por lo indefinido; pero entendiendo bien que todo lo que así se obtenga, lo mismo que lo finito ordinario del que no es nunca sino una extensión, no tiene relación alguna con el Infinito, y es siempre rigurosamente nulo en relación a éste. Al mismo tiempo, estas consideraciones muestran también de manera precisa la imposibilidad de llegar a la síntesis mediante el análisis: sería inútil sumar sucesivamente unos elementos a otros en número indefinido, ya que no se obtendrá jamás el Todo, porque el Todo es infinito, y no indefinido; no se lo puede concebir de otra manera que como infinito, y no podría estar limitado sino por algo que le fuera exterior, y entonces ya no sería el Todo; si se puede decir que es la suma de todos estos elementos, es solamente a condición de entender esta palabra suma en el sentido de integral, y una integral no se calcula tomando sus elementos uno a uno; incluso si se pudiera suponer que se han llegado a recorrer analíticamente uno o varios indefinidos, no se habría avanzado por ello ni un paso desde el punto de vista universal, y se estaría todavía exactamente en el mismo punto respecto al Infinito. Todo esto, además, se puede aplicar analógicamente a ámbitos distintos que el de la cantidad; y la consecuencia que resulta inmediatamente de ello es que la ciencia profana, al ser sus puntos de vista y métodos exclusivamente analíticos, es incapaz de sobrepasar ciertas limitaciones; la imperfección, aquí, no solo es inherente a su estado presente, como algunos quisieran creer, sino a su propia naturaleza, es decir, en definitiva, a su falta de principios. 

Hemos dicho que la serie de los números puede ser considerada como indefinida en los dos sentidos, el creciente y el decreciente; pero esto requiere todavía alguna explicación, pues inmediatamente se puede plantear una objeción: y es que el número verdadero, el que se podría llamar el número puro, es esencialmente el número entero; y la serie de los números enteros, partiendo de la unidad, va creciendo indefinidamente, pero se desarrolla toda ella en un único sentido, y así el sentido opuesto, el de lo indefinidamente decreciente, no puede encontrar su representación. Sin embargo, se han considerado diversos tipos de números, distintos de los números enteros; éstos son, se dice normalmente, extensiones de la idea de número, y en cierto modo es verdad; pero, al mismo tiempo, estas extensiones son también alteraciones, y los matemáticos parecen olvidar esto demasiado fácilmente, porque su "convencionalismo" les impide reconocer su origen y razón de ser. De hecho, los números distintos de los enteros se presentan siempre, ante todo, como la figuración de un resultado de operaciones que son imposibles ateniéndose al punto de vista de la aritmética pura, no siendo ésta, en rigor, sino la aritmética de los números enteros; pero el resultado de tales operaciones no se llega a considerar así arbitrariamente, ni se limita a verlas simplemente como imposibles; de manera general, es en consecuencia de la aplicación hecha del número, como cantidad discontinua, a la medida de magnitudes que, como las espaciales por ejemplo, son del orden de la cantidad continua. Entre estos modos de la cantidad existe una diferencia de naturaleza tal, que no se podría establecer perfectamente la correspondencia entre uno y otro; para remediar esto en cierta medida, se procuran reducir de alguna manera los intervalos de esta discontinuidad constituida por la serie de los números enteros, introduciendo entre sus términos otros números tales como los fraccionarios e inconmensurables, que no tendrían sentido alguno fuera de esta consideración. Hay que decir además que, pese a esto, subsiste siempre forzosamente algo de la naturaleza esencialmente discontinua del número, que no permite que se obtenga un equivalente perfecto de lo continuo; se pueden reducir los intervalos tanto como se quiera, es decir, en suma, reducirlos indefinidamente, pero no suprimirlos; esto lleva a considerar todavía un cierto aspecto de lo indefinido, que podría tener aplicación en un examen de los principios del cálculo infinitesimal, pero no es esto lo que nos proponemos actualmente. 

Con estas reservas y bajo estas condiciones, se pueden admitir algunas de estas extensiones de la idea de número a las que acabamos de hacer alusión, y darles o, más bien, restituirles un significado legítimo; así, podemos enfocar particularmente los inversos de los números enteros, representados por símbolos de la forma 1/n y que constituirán la serie indefinidamente decreciente, simétrica de la serie indefinidamente creciente de los números enteros. Habría que observar de nuevo que, aunque el símbolo 1/n pueda evocar la idea de los números fraccionarios, los números a los que se refiere no se definen aquí como tales; es suficiente que consideremos las dos series como constituidas por números respectivamente mayores y menores que la unidad, es decir, como dos órdenes de magnitudes que tienen en ella su límite común, al mismo tiempo que ambos pueden ser considerados como nacidos igualmente de esta unidad, que es verdaderamente la fuente primera de todos los números. Ya que hemos hablado de los números fraccionarios, añadiremos a este respecto que la definición que se da ordinariamente de ellos es de nuevo absurda: las fracciones no pueden ser "partes de la unidad", como se dice, ya que la verdadera unidad es necesariamente indivisible y sin partes; aritméticamente, un número fraccionario no representa otra cosa que el cociente de una división imposible; pero este absurdo proviene de una confusión entre la unidad aritmética y lo que se llama las "unidades de medida", que no son tales sino convencionalmente, y que son en realidad magnitudes de otro tipo que el número. La unidad de longitud, por ejemplo, no es más que una cierta longitud elegida por razones ajenas a la aritmética y a la que se le hace corresponder el número 1 con el fin de poder medir en relación a ella las demás longitudes; pero, por su propia naturaleza de magnitud continua, toda longitud, aunque se represente numéricamente por la unidad, no deja de ser por ello siempre e indefinidamente divisible; se podrá entonces, comparándola con otras longitudes, considerar partes de esta unidad de medida, pero que no serán por ello de ninguna manera partes de la unidad aritmética; y únicamente de este modo se introduce realmente la consideración de los números fraccionarios, como representación de las relaciones entre magnitudes que no son exactamente divisibles unas por otras. La medida de una magnitud no es, en efecto, sino la expresión numérica de su relación con otra magnitud de la misma especie tomada como unidad de medida, es decir, en el fondo, como término de comparación; y por ello se ve que toda medida se basa esencialmente en la división, lo que podría dar lugar de nuevo a otras observaciones importantes, pero que están fuera de nuestro tema. 

Dicho esto, podemos volver a la doble indefinitud numérica constituida, en el sentido creciente, por la serie de los números enteros, y en el decreciente, por la de sus inversos; estas series parten ambas de la unidad, la única que es a sí misma su propio inverso, ya que 1/1=1. Además hay tantos números en una de las series como en la otra, de manera que, si se consideran estos dos conjuntos indefinidos formando una única sucesión, se podrá decir que la unidad ocupa exactamente el medio en esta sucesión de los números; en efecto, a todo número n de una de las series le corresponde en la otra serie un número 1/n, tal que n X 1/n = 1; el conjunto de los dos números inversos, multiplicándose el uno por el otro, reproduce la unidad. Si se quisiera, para generalizar más, introducir los números fraccionarios en lugar de considerar solamente la serie de los números enteros y la de sus inversos, como acabamos de hacer, nada cambiaría a este respecto: estarían de un lado todos los números mayores que la unidad, y del otro, todos los números menores que ella; aquí de nuevo, a todo número a/b >1, le correspondería en el otro grupo un número inverso b/a < 1, y recíprocamente, de manera que a/b x b/a = 1, y así se tendría siempre una misma cantidad exacta de números en uno y otro de estos grupos indefinidos separados por la unidad. Se puede decir además que la unidad, estando en el medio, corresponde al estado de perfecto equilibrio, y contiene a todos los números en sí misma, que nacen de ella por parejas de números inversos o complementarios, constituyendo cada una de estas parejas, por el hecho de este complementarismo, una unidad relativa en su indivisible dualidad; desarrollaremos a continuación las consecuencias que implican estas diversas consideraciones. 

Si se consideran, según lo que se ha dicho anteriormente, la serie de los números enteros y la de sus inversos, la primera es indefinidamente creciente y la segunda indefinidamente decreciente; se podría decir que de este modo los números tienden por una parte hacia lo indefinidamente grande y por la otra hacia lo indefinidamente pequeño, viendo en ello los límites mismos del dominio en que se considera a estos números, ya que una cantidad variable no puede tender sino hacia un límite. El dominio del que se trata es, en definitiva, el de la cantidad numérica considerada en toda la extensión de la que es susceptible; esto quiere decir que los límites no están determinados en absoluto por tal o cual número en particular, lo grande o pequeño que se quiera, sino únicamente por la naturaleza misma del número como tal. Por esto no puede tratarse aquí en modo alguno de una cuestión de infinito, ya que el número, como cualquier otra cosa de naturaleza determinada, excluye a todo lo que no es él; por otra parte, acabamos de decir que lo indefinidamente grande debe forzosamente concebirse como un límite, y se puede observar a propósito de esto, que la expresión "tender hacia el infinito", empleada por los matemáticos en el sentido de "crecer indefinidamente", es de nuevo un absurdo, ya que el infinito implica evidentemente la ausencia de todo límite, y que en consecuencia, no existiría nada hacia lo que fuera posible tender. Va de suyo que las mismas observaciones se aplicarían igualmente a los modos de la cantidad distintos del número, es decir, a los diferentes tipos de cantidad continua, sobre todo la espacial y la temporal; cada una de ellas, en su orden, es igualmente susceptible de extensión indefinida, pero estará limitada esencialmente por su propia naturaleza, como también lo está por lo demás la cantidad misma en toda su generalidad; el hecho mismo de que existan cosas a las que no es aplicable la cantidad, es suficiente para establecer que la pretendida noción de "infinito cuantitativo" es contradictoria. 

Por otra parte, al ser un dominio indefinido, no conocemos claramente sus límites, y, por lo tanto, no podemos fijarlos de manera precisa; esta es, en definitiva, toda la diferencia con el finito ordinario. Subsiste aquí, pues, un tipo de indeterminación, pero que solo es tal desde nuestro punto de vista, y no en la realidad misma, ya que los límites no dejan por ello de existir; que los viéramos o no, no cambiaría en nada la naturaleza de las cosas. Se podría decir también, en lo que concierne al número, que esta aparente indeterminación resulta de que la serie de los números, en su conjunto, no está "terminada" por un número dado, como lo está siempre cualquier porción de esta serie que se pueda considerar aisladamente; luego no existe un número, por grande que fuere, que pueda ser identificado a lo indefinidamente grande en el sentido en que acabamos de entenderlo, y, naturalmente, consideraciones simétricas a éstas valdrían también para lo indefinidamente pequeño. Sin embargo, se puede al menos considerar un número prácticamente indefinido, si está permitido expresarse así, cuando ya no puede enunciarse con el lenguaje ni representarse por la escritura, lo que, de hecho, sucede inevitablemente en un momento dado al considerar números que están siempre creciendo o decreciendo; esto es, si se quiere, una simple cuestión de "perspectiva", que incluso concuerda con el carácter de lo indefinido, que, en definitiva, no es sino aquello cuyos límites pueden ser, no suprimidos, lo que resulta imposible porque lo finito no puede producir más que algo finito, sino simplemente alejados hasta perderse totalmente de vista. 

A propósito de esto, cabría plantearse ciertas preguntas bastante curiosas: así, se podría preguntar por qué el idioma chino representa simbólicamente lo indefinido con el número diez mil; la expresión "los diez mil seres", por ejemplo, significa todos los seres, que son realmente una multitud indefinida. Es muy notorio que ocurra exactamente lo mismo en el griego, donde una sola palabra, con una simple diferencia de acentuación, que no es evidentemente más que un detalle totalmente accesorio, sirve para expresar las dos ideas: µùrioi, diez mil; µuríoi, una indefinitud. La verdadera razón de esto es la siguiente: el número diez mil es la cuarta potencia de diez; ahora bien, según la fórmula del Tao-te-King, "el uno ha producido el dos, el dos ha producido el tres, el tres ha producido todos los números", lo que implica que el cuatro, producido inmediatamente por el tres, equivale en cierto modo a todo el conjunto de los números, y esto porque, desde que se obtiene el cuaternario, se obtiene también, por la suma de los cuatro primeros números, el denario, que representa un ciclo numérico completo: 1 + 2 + 3 + 4 = 10; es la Tetraktys pitagórica, sobre cuyo significado tal vez volvamos más especialmente en otra ocasión. Se puede añadir aún que esta representación de la indefinitud numérica tiene su correspondencia en el orden espacial: se sabe que la elevación a una potencia superior en un grado representa, en este orden, adjuntar una dimensión; ahora bien, al no tener nuestra extensión más que tres dimensiones, cuando se va más allá de la tercera potencia se rebasan sus límites, lo que en otras palabras quiere decir, que la elevación a la cuarta potencia marca el final mismo de su indefinitud, ya que, desde que es efectuada, se sale por ello mismo de esta extensión. 

Sea lo que fuere de estas últimas consideraciones, lo indefinidamente grande es en realidad lo que los matemáticos representan, como hemos dicho, por el signo ¥; de no tener este sentido, no tendría verdaderamente ninguno; y, según lo que precede, lo que así se representa no es un número determinado, sino de alguna manera todo un dominio, lo que además es necesario para poder considerar, según lo que ya hemos indicado, desigualdades e incluso órdenes distintos de magnitud en lo indefinido. En cuanto a lo indefinidamente pequeño, puede ser visto, de manera similar, como todo lo que en el orden decreciente se encuentra más allá de los límites de nuestros medios de evaluación, y que por lo tanto, nos lleva a considerarlo como prácticamente inexistente en relación a nosotros en tanto que cantidad; se lo puede representar, sin hacer intervenir aquí la notación diferencial o infinitesimal que en el fondo sólo tiene razón de ser para el estudio de las variaciones continuas, en su conjunto por el símbolo 0, aunque no sea ésta, a decir verdad, más que una de las significaciones del cero; y debe quedar bien claro que este símbolo, por las mismas razones que el de lo indefinidamente grande, no representa tampoco un número determinado. 

La serie de los números, que hemos considerado como extendiéndose indefinidamente, por los números enteros y por sus inversos, en los dos sentidos creciente y decreciente, se representa pues bajo la siguiente forma : 

dos números equidistantes de la unidad central son inversos o complementarios uno de otro, luego, como hemos explicado precedentemente, reproducen la unidad por su multiplicación: 

1/n x n = 1, de manera que, por las dos extremidades de la serie, se llega a escribir también: 0 x ¥ = 1. Sin embargo, del hecho de que los signos 0 e ¥, que son los dos factores de este último producto, no representen en realidad números determinados, se deduce que la expresión misma 0 x ¥ constituye lo que se llama una forma indeterminada, y se debe escribir entonces: 0 x ¥ = n, siendo n un número cualquiera; pero, de todas maneras, se llega así de nuevo al finito ordinario, neutralizándose las dos indefinitudes opuestas una a la otra. Se ve muy claramente de nuevo que el símbolo ¥ no representa el Infinito, ya que el Infinito no puede tener ni opuesto ni complementario, y no puede entrar en correlación con nada, ni con el cero, ni con la unidad, ni con un número cualquiera; siendo el Todo absoluto, contiene tanto el No-Ser como el Ser, de manera que el propio cero, al no ser la pura nada, debe necesariamente considerarse como comprendido en el Infinito. 

Al hacer alusión aquí al No-Ser, abordamos otra significación del cero, diferente de la que acabamos de considerar, y que es incluso la más importante desde el punto de vista de su simbolismo metafísico; pero, a este respecto, importa precisar bien, para evitar toda confusión entre el símbolo y lo que representa, que el Cero metafísico, que es el No-Ser, no es en absoluto el cero de la cantidad, ni la Unidad metafísica, que es el Ser, es la unidad aritmética; lo así designado por estos términos no puede serlo más que por transposición analógica, ya que, desde que uno se sitúa en lo Universal, se está evidentemente más allá de todo dominio espacial como el de la cantidad. Además el cero puede tomarse como símbolo del No-Ser, no en tanto que representa lo indefinidamente pequeño, sino en cuanto que, según otra de sus acepciones matemáticas, representa la ausencia de cantidad, que en efecto simboliza en su orden la posibilidad de no-manifestación, del mismo modo que la unidad simboliza la posibilidad de manifestación, siendo el punto de partida de la multiplicidad indefinida de los números así como el Ser es el principio de toda manifestación. 

De cualquier manera en que se considere al cero, nunca podría ser una pura nada: esto es muy evidente cuando se trata de lo indefinidamente pequeño; es verdad que no es, si se quiere, más que un sentido derivado, debido a un tipo de asimilación aproximada de una cantidad despreciable para nosotros a la ausencia de toda cantidad; pero, en lo que concierne a la ausencia misma de cantidad, lo que es nulo desde este punto de vista puede muy bien no serlo desde otros puntos de vista, como se ve claramente mediante un ejemplo como el del punto, que es inextenso, es decir espacialmente nulo, pero que no deja de ser por ello, como ya lo hemos expuesto en otro lugar, el principio mismo de toda la extensión. Es por lo demás verdaderamente extraño que los matemáticos tengan la costumbre de considerar al cero como una pura nada, y que sin embargo les sea imposible no mirarlo al mismo tiempo como dotado de una potencia indefinida, ya que, situado a la derecha de otra cifra tomada como significativa, contribuye a formar la representación de un número que, por repetición de este mismo cero, puede crecer indefinidamente, como sucede por ejemplo, en el caso del número diez y de sus potencias sucesivas; si realmente el cero no fuera más que una pura nada, no podría suceder esto, e incluso no sería entonces sino un signo inútil, totalmente desprovisto de cualquier valor efectivo; aparece pues de nuevo otra inconsecuencia a añadir a todas las que ya hemos resaltado hasta ahora. 

Si volvemos al cero considerado como representando lo indefinidamente pequeño, lo que importa sobre todo es recordar bien que el dominio de éste comprende, en la serie doblemente indefinida de los números, todo lo que está más allá de nuestros medios de evaluación en un cierto sentido, así como el dominio de lo indefinidamente grande comprende, en esta misma serie, todo lo que está más allá de estos mismos medios de evaluación en el otro sentido. Siendo así, no cabe evidentemente hablar de números menores que el cero, ni tampoco de números mayores que lo indefinido; y esto es todavía más inaceptable, si es posible, en el momento en que el cero representa pura y simplemente la ausencia de toda cantidad, ya que una cantidad que fuera menor que nada es propiamente inconcebible; esto es sin embargo lo que se ha querido hacer, aunque en sentido algo diferente del que hemos indicado, introduciendo en las matemáticas la consideración de los números llamados negativos, y olvidando que estos números, en origen, no son sino la indicación del resultado de una sustracción realmente imposible, en la que un número más grande debiera ser restado de un número más pequeño; pero esta consideración de los números negativos y las consecuencias lógicamente dudosas que genera requieren todavía algunas otras explicaciones. 

La consideración de los números negativos, en el fondo, proviene únicamente del hecho de que, cuando una sustracción es aritméticamente imposible, su resultado es sin embargo susceptible de interpretación en el caso que esta sustracción se refiera a magnitudes que puedan contarse en dos sentidos opuestos, como, por ejemplo, las distancias o los tiempos. De aquí la representación geométrica dada habitualmente a estos números negativos: sobre una recta se miden las distancias como positivas o negativas según si se recorren en un sentido o en otro, y se fija sobre esta recta un punto tomado como origen, a partir del cual las distancias se dicen positivas de un lado y negativas del otro, estando el mismo origen afectado por el coeficiente cero; el coeficiente de cada punto de la recta será pues el número que representa su distancia al origen, y su signo + ó - indicará simplemente de que lado está situado este punto con respecto a aquél; sobre una circunferencia, se podrá distinguir también un sentido de rotación positivo y otro negativo, lo que daría lugar a observaciones análogas. Además, siendo la recta indefinida en los dos sentidos, se llega a considerar un indefinido positivo y un indefinido negativo, que se representan por los signos + ¥, - ¥, que se designan normalmente por las absurdas expresiones de "más infinito" y "menos infinito"; se cuestiona lo que realmente podría ser un infinito negativo, o también lo que podría subsistir si a algo o a nada ( ya que los matemáticos consideran al cero como nada) se le restase el infinito; es suficiente con enunciar estas cosas en lenguaje claro para ver inmediatamente que carecen de todo significado. Todavía hay que añadir que de seguido, en particular en el estudio de la variación de las funciones, se llega a considerar el indefinido negativo confundiéndosele con el indefinido positivo, de manera que un móvil partiendo del origen y alejándose constantemente en el sentido positivo volvería hacia el del lado negativo, si su movimiento prosiguiera durante un tiempo indefinido, o inversamente, de donde resulta que la recta, o lo que se considera como tal, debe ser en realidad una línea cerrada, aunque indefinida. Se podría además hacer ver que las propiedades de la recta en el plano son análogas por completo a las de un gran círculo sobre la superficie de una esfera, y que así el plano y la recta pueden ser asimilados a una esfera y a un gran círculo de radio indefinidamente grande (asimilándose entonces los círculos ordinarios del plano a los círculos pequeños de esta misma esfera); sin insistir más, únicamente haremos notar que aquí de alguna manera se pueden captar directamente los propios límites de la indefinitud espacial; ¿cómo se puede entonces, si se quiere guardar alguna apariencia de lógica, hablar todavía de infinito? 

Considerando los números positivos y negativos como acabamos de decir, la serie de los números toma la siguiente forma: 

siendo el orden de estos números el mismo que el de los puntos correspondientes sobre la recta, es decir, de los puntos que tienen estos mismos números como coeficientes respectivos. Esta serie, aunque sea igualmente indefinida en los dos sentidos, es totalmente distinta de aquella que hemos considerado anteriormente: es simétrica, no ya en relación a 1, sino en relación a 0, que corresponde al origen de las distancias; y dos números equidistantes de este término central 0, lo reproducen de nuevo, pero por adición "algebraica" (es decir efectuada teniendo en cuenta sus signos, lo que aquí es aritméticamente una sustracción), y no ya por multiplicación. Se puede observar enseguida un inconveniente que resulta inevitablemente del carácter artificial (y no decimos arbitrario) de esta notación: si se coloca la unidad en el punto de partida, toda la serie de los números fluye naturalmente; pero, si se coloca el cero, es al contrario imposible hacer salir de él ningún número; la razón entonces es que la constitución de la serie está basada en realidad en consideraciones más de orden geométrico que aritmético, y que, como consecuencia de la diferente naturaleza de las cantidades a las que se refieren respectivamente estas dos ramas de las matemáticas, no puede existir nunca, como ya hemos dicho, una correspondencia rigurosamente perfecta entre la aritmética y la geometría. Por otra parte, esta nueva serie no es en modo alguno como la precedente, indefinidamente creciente en un sentido e indefinidamente decreciente en el otro, y en caso de considerarla así, sería por utilizar una "manera de hablar" de las más incorrectas; en realidad, es indefinidamente creciente en los dos sentidos igualmente, ya que lo comprendido de una parte y de la otra del cero central, es la misma serie de los números enteros; lo que se llama "valor absoluto" (de nuevo una expresión al menos extraña, ya que aquello que se trata no es sino de un orden esencialmente relativo) debe ser tomado en consideración solamente bajo el aspecto puramente cuantitativo, y los signos positivos o negativos no cambian nada a este respecto, ya que no expresan otra cosa que las relaciones de "situación" que hemos explicado hace un momento. Lo indefinido negativo no es pues asimilable en modo alguno a lo indefinidamente pequeño ni, al contrario, lo será lo indefinido positivo a lo indefinidamente grande; la única diferencia está en que se desarrolla en otra dirección, lo que es perfectamente concebible cuando se trata de magnitudes espaciales o temporales, pero carece totalmente de sentido para las magnitudes aritméticas, para las cuales tal desarrollo es necesariamente único, no pudiendo ser otro que el de la serie misma de los números enteros. Los números negativos no son en modo alguno números "menores que el cero", lo que en el fondo no es sino una pura y simple imposibilidad, y el signo por el que están afectados no podría invertir el orden en el que se sitúan en cuanto a su tamaño; es suficiente además, para darse cuenta lo más claramente posible, con observar que el punto de coeficiente -2, por ejemplo, está más lejos del origen que el punto de coeficiente -1, y no menos lejos como sucedería forzosamente si el número -2 fuera realmente menor que el número -1; a decir verdad, no son en absoluto las distancias mismas, en tanto que objeto de medida, las que pueden ser cualificadas como negativas, sino únicamente el sentido en el que son recorridas; aparecen aquí dos temas totalmente distintos, y su confusión es el origen mismo de una gran parte de las dificultades lógicas que ocasiona esta notación de los números negativos. 

Entre otras consecuencias extrañas o ilógicas de esta misma notación, señalaremos la consideración, introducida por la resolución de las ecuaciones algebraicas, de las cantidades llamadas "imaginarias"; éstas se presentan como raíces de los números negativos, lo que no responde de nuevo sino a un imposible; sin embargo podrían, entendiéndolas en otro sentido, corresponder a algo real; pero en todo caso, su teoría y su aplicación a la geometría analítica, tal como las exponen los matemáticos actuales, no aparecen más que como un verdadero tejido de confusiones e incluso de absurdos, y como el producto de una necesidad de generalizaciones excesivas y artificiales, que no retrocede ni siquiera ante el enunciado de propuestas manifiestamente contradictorias; ciertos teoremas sobre las "asíntotas del círculo", por ejemplo, serían ampliamente suficientes para demostrar que no exageramos en nada. Se podrá decir, es cierto, que no se trata de geometría propiamente dicha, sino únicamente de álgebra traducido al lenguaje geométrico; pero lo grave, precisamente, es que al ser posible en cierta medida tal traducción, así como su inversa, se extienda a casos en los que ya no significa nada, apareciendo aquí el síntoma de una extraordinaria confusión de ideas, al tiempo que el resultado final de un "convencionalismo" que llega hasta a hacer perder el sentido de toda realidad. 

Esto aún no es todo, y hablaremos en último lugar de las consecuencias, también muy discutibles, del empleo de los números negativos desde el punto de vista de la mecánica; ésta por otra parte, es en realidad, por su objeto, una ciencia física, y el hecho de tratarla como parte integrante de las matemáticas no deja de introducir ya ciertas deformaciones. Digamos únicamente a este respecto, que los pretendidos "principios" sobre los que los matemáticos modernos hacen descansar esta ciencia tal y como la conciben (y, entre los diversos abusos que se han hecho de esta palabra de "principios", éste no es de los menos dignos de notar) no son propiamente sino hipótesis mejor o peor fundadas, o aún, en el caso más favorable, simples leyes más o menos generales, quizás más generales que otras, pero que no pueden ser sino aplicaciones, en un dominio todavía muy especial, de los verdaderos principios universales. Sin querer entrar en desarrollos demasiado largos, citaremos, como ejemplo del primer caso, el llamado "principio de inercia", que no justifica nada, ni la experiencia que demuestra al contrario que en la naturaleza no hay inercia en ninguna parte, ni el entendimiento que no puede concebir esta pretendida inercia, no pudiendo consistir ésta sino la ausencia completa de toda propiedad; se podría, si acaso, aplicar tal palabra a la potencialidad pura, pero ésta es seguramente otra cosa muy distinta de la "materia" cuantificada y cualificada que consideran los físicos. Un ejemplo del segundo caso es lo que se llama el "principio de la igualdad de la acción y de la reacción", que tiene tan poco de "principio" que se deduce inmediatamente de la ley general del equilibrio de las fuerzas naturales: cada vez que este equilibrio se rompe de alguna manera, tiende enseguida a restablecerse, de donde la intensidad de una reacción es equivalente a aquella de la acción que la ha provocado; este no es más que un simple caso particular de las "acciones y reacciones concordantes", que no conciernen únicamente al mundo corpóreo, sino al conjunto de la manifestación en todos sus modos y sus estados; y precisamente debemos insistir todavía un poco sobre esta cuestión del equilibrio. 

Se representan generalmente dos fuerzas que se equilibran por dos "vectores" opuestos, es decir por dos segmentos de recta de igual longitud y sentido contrario: si dos fuerzas aplicadas en un mismo punto tienen igual intensidad y dirección pero sentido contrario, se equilibran; al no producirse entonces una acción en su punto de aplicación, se dice incluso que se anulan, sin tener en cuenta que si se suprime una de estas fuerzas la otra actúa al momento, lo que prueba que no estaba en modo alguno anulada en realidad. Las fuerzas se caracterizan por coeficientes proporcionales a sus respectivas intensidades, y dos fuerzas de sentido contrario se ven afectadas por coeficientes de distinto signo, uno positivo y el otro negativo: siendo uno f, el otro será -f''. En el caso que acabamos de considerar, teniendo las dos fuerzas igual intensidad, los coeficientes que las caracterizan deben ser iguales "en valor absoluto", y se tiene : f = f', de donde se deduce como condición de equilibrio: f - f'' = 0, es decir que la suma de las dos fuerzas, o de los dos "vectores" que las representan, es nula, de manera que el equilibrio se define por el cero. Como los matemáticos además cometen el error de considerar al cero como una clase de símbolo de la nada (como si la nada pudiera ser simbolizada por algo), parece resultar de esto que el equilibrio es el estado de no-existencia, lo que es una consecuencia bastante singular; sin duda ésta es incluso la razón por la que, en lugar de decir que dos fuerzas que se equilibran se neutralizan, lo que sería exacto, se dice que se anulan, lo que es contrario a la realidad, como acabamos de hacer notar con una de las más simples observaciones. 

La verdadera noción del equilibrio es totalmente distinta a ésta; para comprenderla, es suficiente con observar que todas las fuerzas naturales (y no solamente las fuerzas mecánicas, que digámoslo de nuevo, no son más que un caso muy particular) son o atractivas o repulsivas; las primeras pueden ser consideradas como fuerzas compresivas o de contracción, las segundas como fuerzas expansivas o de dilatación. Es fácil comprender que, en un medio primitivamente homogéneo, a toda compresión producida en un punto le corresponderá necesariamente en otro punto una expansión equivalente, e inversamente, de manera que se deberá siempre considerar correlativamente dos centros de fuerza en donde uno no puede existir sin el otro; esto es lo que se puede llamar la ley de la polaridad, que es aplicable a todos los fenómenos naturales, porque se deriva de la dualidad de los principios mismos que presiden toda manifestación, y que, en el ámbito del que se ocupan los físicos, es evidente sobre todo en los fenómenos eléctricos y magnéticos. Si ahora dos fuerzas, una compresiva y otra expansiva, actúan sobre un mismo punto, la condición para que se equilibren o se neutralicen, es decir, para que en ese punto no se produzca ni contracción ni dilatación, es que las intensidades de estas dos fuerzas sean, no diremos iguales, ya que son de especies diferentes, pero equivalentes. Las fuerzas se pueden caracterizar por coeficientes proporcionales a la contracción o a la dilatación que producen, de manera que, si se considera una fuerza compresiva y una fuerza expansiva, la primera estará afectada por un coeficiente n > 1, y la segunda por un coeficiente n' < 1; cada uno de estos coeficientes puede ser la relación de la densidad que toma el medio ambiente en el punto considerado, bajo la acción de la fuerza correspondiente, con la densidad primitiva de este mismo medio, supuesto homogéneo cuando no experimenta la acción de fuerza alguna, en virtud de una simple aplicación del principio de la razón suficiente. Cuando no se produce ni compresión ni dilatación, esta relación es forzosamente igual a la unidad, ya que la densidad del medio no se modifica; para que dos fuerzas actuando en un punto se equilibren, hace falta pues que su resultante tenga por coeficiente la unidad. Es fácil ver que el coeficiente de esta resultante es el producto (y ya no más la suma como en la concepción "clásica") de los coeficientes de las dos fuerzas consideradas; estos dos coeficientes n y n' deberán ser entonces dos números inversos uno de otro: n' = 1/n y se tendrá como condición de equilibrio: nn' = 1; así, el equilibrio se definirá, ya no por el cero, sino por la unidad. 

Se ve que esta definición del equilibrio por la unidad, que es la única real, corresponde al hecho de que la unidad ocupa el medio en la serie doblemente indefinida de los números enteros y de sus inversos, mientras que este lugar central es de alguna manera usurpado por el cero en la serie artificial de los números positivos y negativos. Lejos de ser el estado de no-existencia, el equilibrio es al contrario la existencia considerada en sí misma, independientemente de sus múltiples y secundarias manifestaciones; queda además bien entendido que no es en absoluto el No-Ser, en el sentido metafísico de esta palabra, ya que la existencia, incluso en este estado primordial e indiferenciado, no es aún sino el punto de partida de todas las manifestaciones diferenciadas, así como la unidad es el punto de partida de toda la multiplicidad de los números. Esta unidad, tal como la acabamos de considerar, y en la cual reside el equilibrio, es lo que la tradición extremo-oriental llama el "Invariable Medio"; y, según esta misma tradición, este equilibrio o esta armonía es, en el centro de cada estado y de cada modalidad del ser, el reflejo de la "Actividad del Cielo". 

Terminando aquí este estudio, que no tiene en absoluto la pretensión de ser completo, sacaremos una conclusión de orden "práctico"; ésta indica bastante explícitamente por qué las concepciones de los matemáticos modernos no pueden inspirarnos más respeto que aquellas de los representantes de cualquier otra ciencia profana; a nuestros ojos sus opiniones y sus consejos no pueden tener peso alguno, y de ningún modo hemos de tenerlos en cuenta en apreciaciones que podremos tener ocasión de formular sobre tal o cual teoría, apreciaciones que para nosotros no pueden, en este o en cualquier otro ámbito, estar basadas únicamente en los fundamentos del conocimiento tradicional. Traducción: Alicia López Izquierdo. 
 

NOTA 

^*      Parte II, Capítulo II, de Mélanges. Ed. Gallimard, Francia, 1976. (R)