LES PRINCIPES DU CALCUL INFINITÉSIMAL (y 3)
Ed. Gallimard, París 1946

Guénon prosigue ahora su estudio, considerando los números negativos, después de hacer las observaciones que acabamos de ver sobre el cero y que le dan pie a introducir esta notación.

"... Hemos dicho anteriormente que la serie de los números enteros está formada a partir de la unidad, y no a partir del cero... poner el cero al comienzo de la serie de los números, como si fuera el primero de esta serie, no puede tener más que dos significados: o bien es admitir realmente que cero es un número, contrariamente a lo que hemos establecido... o bien es un simple artificio de notación, que no puede más que acarrear confusiones más o menos inextricables. De hecho, el empleo de este artificio no se justifica más que para permitir la introducción de la notación de los números negativos, y, si el uso de esta notación ofrece sin duda ciertas ventajas para la comodidad de los cálculos, consideración 'pragmática'... que no tiene importancia verdadera desde nuestro punto de vista, es fácil darse cuenta que no está exenta de presentar, por otra parte, graves inconvenientes lógicos. La primera de todas las dificultades a las que da lugar a propósito de esto, es precisamente la concepción de las cantidades negativas como 'menores que cero'... lo cual no se trata de otra cosa más que de una simple convención."

"La razón de esta convención es la siguiente: cuando una resta es aritméticamente imposible, su resultado es susceptible sin embargo de una interpretación en el caso en que esta resta se refiera a magnitudes que pueden ser contadas en dos sentidos opuestos, como, por ejemplo, las distancias medidas sobre una línea... De aquí la representación geométrica que se da habitualmente de estos números negativos: si se considera una recta entera, indefinida en los dos sentidos... se cuenta, sobre esta recta, las distancias como positivas o como negativas según que se recorran en un sentido o en el otro, y se fija un punto tomado como origen, a partir del cual a las distancias se les dice positivas de un lado y negativas del otro. A cada punto de la recta corresponderá un número que será la medida de su distancia al origen, y que podemos... llamar su coeficiente; el origen mismo... tendrá naturalmente por coeficiente cero, y el coeficiente de cualquier otro punto de la recta será un número afectado por el signo + ó ­ , que... indicará simplemente de qué lado está situado este punto con respecto al origen..."

"...al ser la recta indefinida en los dos sentidos, se llega a contemplar en ella un indefinido positivo y un indefinido negativo, que se representa respectivamente mediante los signos + ∞ y ­ ∞... uno se pregunta lo que podría ser un infinito negativo, o también qué podría quedar si de algo o incluso de nada, puesto que los matemáticos contemplan el cero como nada, se restara el infinito; éstas son cosas que basta enunciar con un lenguaje claro para ver inmediatamente que están desprovistas de todo significado..."

"Considerando los números positivos y negativos como acabamos de decir, la serie de los números toma la forma siguiente:

­ ∞ ... ... ­ 4, ­ 3, ­ 2, ­ 1, 0, 1, 2, 3, 4, ... ... + ∞

... Esta serie, aunque sea indefinida en los dos sentidos, es completamente diferente de la que hemos considerado anteriormente y que comprendía los números enteros y sus inversos: es simétrica, no con relación a la unidad, sino con respecto al cero, que corresponde al origen de distancias; y, si dos números equidistantes de este término central lo reproducen aún, no es por multiplicación, como en el caso de los números inversos, sino por suma 'algebraica', es decir efectuada teniendo en cuenta sus signos... Por otra parte, esta nueva serie no es en modo alguno, como era la anterior, indefinidamente creciente en un sentido e indefinidamente decreciente en el otro, a menos que no lo sea más que por una 'forma de hablar' de las más incorrectas... en realidad, esta serie es indefinidamente creciente en los dos sentidos igualmente, puesto que lo que comprende por una parte y por la otra del cero central, es la misma serie de los números enteros; solamente debe tomarse en consideración, bajo el aspecto puramente cuantitativo, lo que se llama el 'valor absoluto'... y los signos... no cambian nada en cuanto a esto... Lo indefinidamente negativo no es pues de ningún modo asimilable a lo indefinidamente pequeño; al contrario, pertenece... a lo indefinidamente grande; la única diferencia, y que no es de orden cuantitativo, es que se desarrolla en otra dirección, lo cual es perfectamente concebible cuando se trata de magnitudes espaciales... pero totalmente desprovisto de sentido para las magnitudes aritméticas..." (cap. XVI).

"A propósito de los números negativos, y aunque no sea esto más que una digresión con respecto al tema principal de nuestro estudio, prosigue Guénon, hablaremos también de algunas consecuencias muy discutibles del empleo de estos números desde el punto de vista de la mecánica... y es... sobre la cuestión del equilibrio de las fuerzas y de su representación matemática sobre lo que nos proponemos insistir aquí algo..."

"Se representa habitualmente dos fuerzas que se equilibran mediante dos 'vectores' opuestos, es decir por dos segmentos de recta de igual longitud, pero dirigidos en sentido contrario: si dos fuerzas aplicadas en el mismo punto tienen la misma intensidad y dirección, pero en sentidos contrarios, se equilibran; como no tienen entonces acción sobre su punto de aplicación, se dice incluso comúnmente que se destruyen, sin darse cuenta de que, si se suprime una de las fuerzas, la otra actúa inmediatamente, lo que prueba que no estaba en modo alguno destruida en realidad. Se caracteriza las fuerzas mediante coeficientes numéricos proporcionales a sus intensidades respectivas, y dos fuerzas de sentidos contrarios están afectadas por coeficientes de signos diferentes, uno positivo y el otro negativo: siendo uno f , el otro será ­ f'. ... si las dos fuerzas tienen la misma intensidad, los coeficientes que las caracterizan deben ser iguales 'en valor absoluto'... f = f', de donde se deduce, como condición de equilibrio, f ­ f' = 0 ... de tal manera que el equilibrio está así definido por cero... es sin duda por esta razón que, en lugar de decir que dos fuerzas que se equilibran se neutralizan, lo que sería exacto, se dice que se destruyen..."

"La verdadera noción de equilibrio es otra: para comprenderla, basta observar que todas las fuerzas naturales... son o de atracción o de repulsión; las primeras pueden ser consideradas como fuerzas de compresión o de contracción, las segundas como fuerzas de expansión o de dilatación; y, en el fondo, esto no es otra cosa más que una expresión, en este dominio, de la dualidad cósmica fundamental misma... Si dos fuerzas, una de compresión y otra de expansión, actúan sobre un mismo punto, la condición para que se equilibren o se neutralicen, es decir para que en ese punto no se produzca ni contracción ni dilatación, es que las intensidades de estas fuerzas sean equivalentes; no decimos iguales, puesto que estas fuerzas son de especies diferentes... Se puede caracterizar a las fuerzas mediante coeficientes proporcionales a la contracción o a la dilatación que producen, de tal manera que, si se contempla una fuerza de compresión y una fuerza de expansión, la primera estará afectada por un coeficiente n > 1, y la segunda por un coeficiente n' < 1; cada uno de estos coeficientes puede ser la relación de la densidad que toma el medio ambiente en el punto considerado, bajo la acción de la fuerza correspondiente, con la densidad primitiva de este mismo medio, supuesto homogéneo... Cuando no se produce ni compresión ni dilatación, esta relación es forzosamente igual a la unidad, puesto que la densidad del medio no es modificada; para que dos fuerzas que actúan en un punto se equilibren, hace falta pues que su resultado tenga por coeficiente la unidad. Es fácil ver que el coeficiente de este resultado es el producto, y no la suma como en la concepción ordinaria, de los coeficientes de las dos fuerzas consideradas; estos dos coeficientes n y n' deberán pues ser dos números inversos uno del otro: n' = 1/n, y se tendrá, como condición del equilibrio, nn' = 1; así, el equilibrio estará definido, no por el cero, sino por la unidad."

"Se ve que esta definición del equilibrio por la unidad, que es la única real, corresponde al hecho de que la unidad ocupa el centro en la serie doblemente indefinida de los números enteros y de sus inversos, mientras que este sitio central es en cierta manera usurpado por el cero en la serie artificial de los números positivos y negativos. El equilibrio, lejos de ser el estado de no-existencia, es al contrario la existencia contemplada en sí misma... el punto de arranque de todas las manifestaciones diferenciadas, como la unidad es el punto de arranque de toda la multiplicidad de los números. Esta unidad, tal como acabamos de considerarla, y en la cual reside el equilibrio, es lo que la tradición extremo oriental llama el 'Invariable Medio'; y, siguiendo esta misma tradición, este equilibrio o esta armonía es, en el centro de cada estado y de cada modalidad del ser, el reflejo de la 'Actividad del Cielo'." (cap. XVII).

Acabada esta digresión a propósito de los números negativos, Guénon prosigue con el tema principal de su estudio.

"Volvamos ahora a la cuestión de la justificación del rigor del cálculo infinitesimal: hemos visto ya que Leibnitz contempla como iguales las cantidades cuya diferencia, sin ser nula, es incomparable a estas cantidades mismas; en otras palabras, las cantidades infinitesimales... deben como tales ser despreciadas con respecto a las cantidades ordinarias... Debemos admitir, en todo caso, que el error introducido en el cálculo puede hacerse tan pequeño como se quiera, lo que ya es mucho; pero, precisamente, este carácter infinitesimal del error ¿no lo suprime completamente cuando se considera, no ya el curso mismo del cálculo, sino los resultados a los que permite llegar finalmente?..."

"... 'el cálculo infinitesimal, como el cálculo ordinario, no contempla realmente más que cantidades fijas y determinadas'¹; no introduce en suma las cantidades variables más que a título de auxiliares, con un carácter puramente transitorio, y estas variables deben desaparecer de los resultados, que no pueden expresar más que relaciones entre cantidades fijas. Hay pues que pasar, para obtener estos resultados, de la consideración de las cantidades variables a la de las cantidades fijas; y este paso tiene precisamente por efecto eliminar las cantidades infinitesimales..."

¹ "Cf. Ch. de Freycinet, Ibid., Prefacio, p. VIII."

"... El punto esencial, para justificar el rigor del cálculo infinitesimal, es que, en los resultados, no deben figurar más que cantidades fijas; hace falta en definitiva, al final del cálculo, pasar de las cantidades variables a las cantidades fijas, y esto es un 'paso al límite', pero concebido totalmente diferente a como lo hacía Leibnitz... pues, y esto es lo que importa, las cantidades infinitesimales, en este paso, se eliminan ellas mismas, y esto simplemente en razón de que las cantidades fijas sustituyen a las variables."

"¿Es preciso no obstante no ver en esta eliminación, como querría Carnot, más que el efecto de una simple 'compensación de errores'? Pensamos que no, y parece que se puede ver aquí en realidad algo más desde el momento que se hace la distinción entre cantidades variables y cantidades fijas como si constituyeran en cierta manera dos dominios separados, entre los que existe sin duda una correlación y una analogía, lo cual es necesario para que se pueda pasar efectivamente del uno al otro, cualquiera que sea la manera en que se efectúe este paso, pero sin que sus relaciones reales puedan nunca establecer entre ellas una interpenetración o incluso una continuidad cualquiera; esto implica por otra parte, entre estos dos tipos de cantidades, una diferencia de orden esencialmente cualitativa, conforme a lo que hemos dicho más arriba a propósito de la noción de límite. Esta distinción es la que Leibnitz no ha hecho nunca claramente... y no podía ver que el 'paso al límite' implica esencialmente una discontinuidad, puesto que, para él, no existía en ninguna parte discontinuidad. Sin embargo, esta distinción es la única que nos permite formular la proposición siguiente: si la diferencia de dos cantidades variables puede hacerse tan pequeña como se quiera, las cantidades fijas que corresponden a estas variables, y que son contempladas como sus límites respectivos, son rigurosamente iguales. Así, una diferencia infinitesimal no puede nunca llegar a ser nula, pero no puede existir más que entre cantidades variables, y, entre las cantidades fijas correspondientes, la diferencia debe ser nula; de aquí, resulta inmediatamente que, a un error que puede hacerse tan pequeño como se quiera en el dominio de las cantidades variables... corresponde necesariamente un error rigurosamente nulo en el dominio de las cantidades fijas; es aquí únicamente, y no en otras consideraciones que, cualesquiera que sean, están siempre más o menos fuera o al lado de la cuestión, donde reside esencialmente la verdadera justificación del rigor del cálculo infinitesimal." (cap. XVIII).

"Lo que antecede, continúa Guénon, deja subsistir aún una dificultad en cuanto a lo que concierne a la consideración de diferentes órdenes de cantidades infinitesimales: ¿cómo se puede concebir cantidades que sean infinitesimales, no solamente con relación a las cantidades ordinarias, sino con relación a otras cantidades que son ellas mismas infinitesimales?... Es en la consideración de diferentes grados de variación... donde descansa verdaderamente la distinción de los diferentes órdenes de cantidades infinitesimales."

"Para precisar la manera en que debe entenderse esto, haremos simplemente la observación siguiente: se puede establecer, entre las variables mismas, distinciones análogas a la que hemos establecido anteriormente entre las cantidades fijas y las variables... en efecto, una cantidad que no es absolutamente fija, o incluso que es esencialmente variable, que es el caso de las cantidades infinitesimales, de cualquier orden que sean, puede sin embargo ser contemplada como relativamente fija y determinada, es decir como susceptible de jugar el papel de cantidad fija con relación a otras ciertas variables. Es en estas condiciones solamente que una cantidad variable puede ser considerada como el límite de otra variable, lo cual, según la definición misma de límite, supone que es contemplada como fija, al menos bajo cierta relación, es decir relativamente a aquella de la cual es el límite..."

"En lugar de hablar a propósito de esto de grados de variación, como acabamos de hacer, se podría también hablar igualmente de grados de indeterminación, lo cual, en el fondo, sería exactamente la misma cosa, contemplada solamente desde un punto de vista un poco diferente... Nos limitaremos a estas pocas indicaciones sobre este tema, pues, por sumarias que sean, pensamos que son al menos suficientes para hacer comprender la posibilidad de existencia de diferenciales de diversos órdenes sucesivos; pero nos queda aún, en conexión con esta misma cuestión, mostrar más explícitamente que no existe realmente ninguna dificultad lógica en considerar grados múltiples de indefinitud, tanto en el orden de las cantidades decrecientes, que es al que pertenecen las infinitesimales o las diferenciales, como en el de las cantidades crecientes, donde se puede contemplar igualmente integrales de diferentes órdenes, simétricas en cierta manera a las diferenciales sucesivas... Por supuesto, se trata aquí de grados de indefinitud, y no de 'grados de infinitud'... y este caso es aún de aquellos en los que las dificultades se resuelven inmediatamente mediante la sustitución de la noción de lo indefinido a la de lo pretendidamente infinito." (cap. XIX).

"Las dificultades lógicas e incluso las contradicciones contra las que chocan los matemáticos, cuando consideran cantidades 'infinitamente grandes' o 'infinitamente pequeñas' diferentes entre ellas y pertenecientes incluso a órdenes diferentes, provienen únicamente de que contemplan como infinito lo que es simplemente indefinido; es verdad que, en general, parecen preocuparse bastante poco de estas dificultades, pero no por ello existen menos y son menos graves, y hacen que aparezca su ciencia como llena de una multitud de sinrazones... que le hacen perder todo valor y todo alcance serio a los ojos de aquellos que no se dejan ilusionar por las palabras... La posibilidad misma de la coexistencia de todos estos pretendidos infinitos, de los cuales algunos lo son en el mismo grado y los otros en grados diferentes, debería bastar para probar que ninguno de ellos puede ser verdaderamente infinito, incluso a falta de toda consideración de orden más propiamente metafísica; en efecto, volvamos a decirlo aún, ya que éstas son verdades sobre las cuales no se podría nunca insistir demasiado, es evidente que, si se supone una pluralidad de infinitos distintos, cada uno de ellos se encuentra limitado por los otros, lo que viene a decir que se excluyen unos a otros..."

"... En tanto que no es cuestión en todo esto más que de lo indefinido, todas estas dificultades... permanecen perfectamente aceptables, ya que no existe ninguna incompatibilidad lógica entre indefinitudes múltiples y distintas, que, por ser indefinidas, no son menos de naturaleza esencialmente finita, así pues perfectamente susceptibles de coexistir, como otras tantas posibilidades particulares y determinadas, en el interior de la Posibilidad total, la única que es infinita, porque es idéntica al Todo universal...". (cap. XX).

"En los dos casos que acabamos de contemplar, el de lo indefinidamente creciente y el de lo indefinidamente decreciente, una cantidad de cierto orden puede ser considerada como la suma de una indefinitud de elementos, de la cual cada uno es una cantidad infinitesimal con relación a esta suma..."

"La suma de la que hablamos aquí no puede efectuarse a la manera de una suma aritmética, porque haría falta para esto que una serie indefinida de adiciones sucesivas pudiera acabarse, lo que es contradictorio... Pero, si esta suma no puede efectuarse de esta manera, como resultado final de una multitud de operaciones distintas y sucesivas, puede en cambio efectuarse de una sola vez y mediante una operación única, que es la integración; ésta es la operación inversa de la diferenciación, puesto que reconstituye la suma a partir de sus elementos infinitesimales, mientras que la diferenciación va al contrario de la suma a los elementos..."

"Así, desde el momento que se trata de indefinitud, la noción de suma aritmética no es aplicable, y hay que recurrir a la de integración... Podemos observar de paso que hay aquí, en lo que concierne a la aplicación a las magnitudes geométricas, que es por otra parte, en el fondo, la verdadera razón de ser de todo el cálculo infinitesimal, un método de medida que es completamente diferente del método habitual basado en la división de una magnitud en porciones definidas, de las que hemos hablado anteriormente a propósito de las 'unidades de medida'... el otro método respeta, tanto como es posible, el carácter propio de lo continuo, considerándolo como una suma de elementos, no ya fijos y determinados, sino esencialmente variables y capaces de decrecer, en su variación, por debajo de toda magnitud asignable, y permitiendo por esto hacer variar la cantidad espacial entre límites tan próximos como se quiera, lo cual es... la representación menos imperfecta que se puede dar de una variación continua."

"Estas observaciones permiten comprender de manera más precisa en qué sentido se puede decir, como hemos hecho al comienzo, que los límites de lo indefinido no pueden ser alcanzados nunca mediante un procedimiento analítico... Debemos naturalmente considerar como analítico, a propósito de esto, el procedimiento que consistiría, para reconstituir un todo, en tomar sus elementos distintamente y sucesivamente: tal es el procedimiento de formación de una suma aritmética, y es en esto, precisamente, en lo que la integración difiere de él esencialmente. Esto es particularmente interesante, desde nuestro punto de vista, ya que se ve aquí, mediante un ejemplo muy claro, lo que son las verdaderas relaciones del análisis y la síntesis: contrariamente a la opinión corriente, según la cual el análisis sería en cierta manera preparatorio a la síntesis y llevaría a ésta... la verdad es que no se puede llegar nunca efectivamente a la síntesis partiendo del análisis; toda síntesis, en el verdadero sentido de esta palabra, es por así decir algo inmediato, que no está precedido por ningún análisis y es independiente de éste, como la integración es una operación que se efectúa de una sola vez y que no presupone de ninguna manera la consideración de elementos comparables a los de una suma aritmética; y, como esta suma aritmética no puede suministrar el medio de alcanzar y agotar lo indefinido, existe, en todos los dominios, cosas que resisten por su misma naturaleza a todo análisis y cuyo conocimiento no es posible más que solamente mediante la síntesis." (cap. XXI).

Y Guénon agrega:

"... cuando tenemos que considerar una indefinitud cualquiera, sea la de un conjunto continuo o la de una serie discontinua, hará falta, en todos los casos, recurrir a una operación sintética para poder alcanzar los límites; una progresión por grados no tendría aquí efecto y no podría nunca hacernos llegar a éstos, ya que tal progresión no puede llevar a un término final más que con la doble condición de que este término y el número de grados a recorrer para alcanzarlo sean uno y otro determinados... una indefinitud no puede ser agotada por grados, pero puede ser comprendida en su conjunto mediante una operación transcendente de la que la integración nos suministra el tipo en el orden matemático... el análisis no alcanza más que a las variables, consideradas en el curso mismo de su variación, y sólo la síntesis alcanza sus límites, lo cual es aquí el único resultado definitivo y realmente válido, puesto que hace falta forzosamente, para que se pueda hablar de un resultado, llegar a algo que se relacione exclusivamente con cantidades fijas y determinadas."

"Por supuesto, que se podría encontrar el caso análogo a estas operaciones sintéticas en otros dominios que el de la cantidad... por ejemplo en un estado cualquiera de existencia manifestada y en las condiciones, cualesquiera que sean, a las que este estado está sometido, se contemple en esto el conjunto cósmico en general o un ser en particular, es decir se sitúe uno en el punto de vista 'macrocósmico' o en el punto de vista 'microcósmico'.¹ Se podría decir que aquí el 'paso al límite' corresponde a la fijación definitiva de los resultados de la manifestación en el orden principial; es por aquí solamente, en efecto, que el ser escapa finalmente al cambio o al 'devenir'... y se ve así que esta fijación no es de ninguna manera un 'último término' del desarrollo de la manifestación, sino que se sitúa esencialmente fuera y más allá de este desarrollo, porque pertenece a otro orden de realidad, transcendente con relación a la manifestación y al 'devenir'; la distinción del orden manifestado y del orden principial corresponde pues analógicamente, a propósito de esto, a la que hemos establecido entre el dominio de las cantidades variables y el de las cantidades fijas... estas pocas indicaciones mostrarán que todas estas cosas son susceptibles de recibir, mediante una transposición analógica apropiada, un alcance incomparablemente más grande que el que parecen tener en sí mismas, puesto que, en virtud de tal transposición, la integración y las otras operaciones del mismo género aparecen verdaderamente como un símbolo de la 'realización' metafísica misma."

¹ Sobre esta aplicación analógica de la noción de integración ver El Simbolismo de la Cruz caps. XVIII y XX.

"Se ve, mediante esto, toda la extensión de la diferencia que existe entre la ciencia tradicional, que permite tales consideraciones, y la ciencia profana de los modernos; y, a propósito de esto, añadiremos aún otra observación... La ciencia profana, en efecto, es esencialmente y exclusivamente analítica: no contempla nunca los principios, y se pierde en el detalle de los fenómenos... de manera que no puede nunca llegar, en tanto que conocimiento, a ningún resultado real y definitivo; se atiene únicamente a los fenómenos mismos, es decir a las apariencias exteriores, y es incapaz de alcanzar el fondo de las cosas, como Leibnitz le reprocha ya al mecanismo cartesiano. Aquí está una de las razones por las cuales se explica el 'agnosticismo' moderno, ya que, puesto que hay cosas que no pueden ser conocidas más que sintéticamente, quienquiera que no procede más que por análisis es llevado por esto mismo a declararlas 'incognoscibles', porque lo son en efecto de esa manera... y así, como lo decíamos al comienzo, el punto de vista y la marcha de la ciencia tradicional son en cierto modo inversos de los de la ciencia profana, como la síntesis misma es inversa del análisis...". (cap. XXII).

Casi ya al final de su estudio, en el cap. XXIII, Guénon expone ciertas consideraciones relacionadas con lo que él denomina 'dificultades del género de las de Zenón de Elea' y con los argumentos que éste daba a propósito del movimiento.

"Es poco verosímil, en efecto, dice aquí Guénon, que Zenón haya tenido la intención de negar el movimiento; lo que parece más probable, es que haya querido probar solamente la incompatibilidad de éste con la suposición, admitida especialmente por los atomistas, de la existencia de una multiplicidad real e irreductible en la naturaleza de las cosas. Es pues contra esta multiplicidad concebida así que sus argumentos debían estar dirigidos en realidad, en un principio... Además, la suposición de una multiplicidad irreductible excluye forzosamente toda ligazón real entre los elementos de las cosas, y por consiguiente toda continuidad, ya que la continuidad no es más que un caso particular o una forma especial de tal ligazón; precisamente, el atomismo, como lo hemos dicho anteriormente, implica necesariamente la discontinuidad de todas las cosas; es con esta discontinuidad que, en definitiva, el movimiento es realmente incompatible, y vamos a ver que esto es lo que muestran en efecto las argumentos de Zenón."

Expuestos estos argumentos, Guénon prosigue:

"... El defecto esencial de estos argumentos... consiste en que suponen que, para alcanzar un cierto término, deben recorrerse distinta y sucesivamente todos los grados intermedios...", cuando lo que sucede en realidad, siempre según Guénon, es que, "... supuesto fijo, por definición, el término de esta variación, éste no puede alcanzarse en la variación misma, y el hecho de alcanzarlo efectivamente exige la introducción de una heterogeneidad cualitativa, que constituye esta vez una verdadera discontinuidad, y que se traduce aquí por el paso del estado de movimiento al estado de reposo; esto nos lleva a la cuestión del 'paso al límite', de la cual debemos aún acabar de precisar la verdadera noción." (cap. XXIII).

Es en el cap. XXIV, "Verdadera concepción del paso al límite", donde Guénon termina de precisar esta verdadera noción.

"La consideración del 'paso al límite', hemos dicho más arriba, es necesaria, si no para las aplicaciones prácticas del método infinitesimal, al menos para su justificación teórica, y esta justificación es precisamente la única que nos importa aquí... Hemos visto que el límite, en razón de su definición misma, no puede nunca ser alcanzado exactamente por la variable... puede serlo precisamente, no en el curso del cálculo, sino en los resultados, porque, en éstos, no deben figurar más que cantidades fijas y determinadas, como el límite mismo, y no variables; es pues la distinción de las cantidades variables y de las cantidades fijas, distinción por otra parte propiamente cualitativa, la que es, como hemos dicho ya, la única verdadera justificación del rigor del cálculo infinitesimal."

"... El límite no pertenece pues a la serie de valores sucesivos de la variable; está fuera de esta serie, y es por esto por lo que hemos dicho que el 'paso al límite' implica esencialmente una discontinuidad. Si fuera de otra manera, estaríamos en presencia de una indefinitud que podría ser agotada analíticamente, y esto es lo que no puede suceder; aquí es cuando la distinción que hemos establecido a propósito de esto toma toda su importancia, ya que nos encontramos en un caso donde se trata de alcanzar, siguiendo la expresión que hemos empleado ya, los límites de una cierta indefinitud... El límite de una variable debe verdaderamente limitar, en el sentido general de esta palabra, la indefinitud de los estados o de las modificaciones posibles que lleva consigo la definición de esta variable; y es justamente por esto que hace falta necesariamente que se encuentre fuera de lo que debe limitar... de lo que se trata en realidad, es de pasar más allá del dominio de esta variación, en el cual el límite no está comprendido, y es este resultado el que es obtenido, no analíticamente y por grados, sino sintéticamente y de una sola vez, de una manera en cierta forma 'súbita' mediante la cual se traduce la discontinuidad que se produce entonces, por el paso de las cantidades variables a las cantidades fijas."

"El límite pertenece esencialmente al dominio de las cantidades fijas: es por esto que el 'paso al límite' exige lógicamente la consideración simultánea de dos modalidades diferentes de la cantidad, en cierta manera superpuestas; no es otra cosa más que el paso a la modalidad superior, en la cual está plenamente realizado lo que, en la modalidad inferior, no existe más que en el estado de simple tendencia, y esto es, empleando la terminología aristotélica, un verdadero paso de la potencia al acto... La noción matemática de límite implica, por su definición misma, un carácter de estabilidad y de equilibrio, carácter que es el de algo permanente y definitivo, y que no puede evidentemente realizarse por las cantidades en tanto que se las considere, en la modalidad inferior, como esencialmente variables; el límite no puede pues nunca alcanzarse gradualmente, pero se logra inmediatamente mediante el paso de una modalidad a la otra, sólo esto permite suprimir todos los estadios intermedios, porque comprende y encierra sintéticamente toda su indefinitud, y por él lo que no era y no podía ser más que una tendencia en las variables se afirma y se fija en un resultado real y definido. De otro modo, el 'paso al límite' sería siempre pura y simplemente algo ilógico, ya que es evidente que, en tanto que se permanece en el dominio de las variables, no se puede obtener esta fijeza que es propia del límite... El estado de las cantidades variables es, en efecto, un estado eminentemente transitorio y en cierta manera imperfecto, puesto que no es más que la expresión de un 'devenir'... el cálculo no puede ser perfecto, en el sentido de verdaderamente acabado, más que cuando ha llegado a resultados en los cuales no entra nada variable ni indefinido, sino únicamente cantidades fijas y definidas; y hemos visto ya cómo esto mismo es susceptible de aplicarse, mediante transposición analógica, más allá del orden cuantitativo, el cual no tiene entonces más que un valor de símbolo, llegando hasta lo que concierne directamente a la 'realización' metafísica del ser." (cap. XXIV).

Terminado aquí su estudio, Guénon insiste aún, en la conclusión, sobre algunas consideraciones de carácter general que ha expuesto ya en el curso del mismo.

"... Se ve pues por todo esto el interés que puede tener la consideración de los principios, incluso para una ciencia especial contemplada en sí misma y sin que uno se proponga ir, apoyándose en esta ciencia, más lejos del dominio relativo y contingente al cual ella se aplica de una manera inmediata; esto es, ciertamente, lo que desconocen completamente los modernos, que se jactan satisfechos, mediante su concepción profana de la ciencia, de haberla hecho independiente de la metafísica, e incluso hasta de la teología, cuando la verdad es que no han hecho con esto más que privarla de todo valor real en tanto que conocimiento. Además, si se comprendiese la necesidad de ligar la ciencia a los principios, va de suyo que no habría desde ese momento ninguna razón de mantenerse aquí, y que uno sería llevado naturalmente a la concepción tradicional según la cual una ciencia particular, la que sea, vale menos por lo que es en sí misma que por la posibilidad de servirse de ella como de un 'soporte' para elevarse a un conocimiento de orden superior. Hemos querido precisamente dar aquí, mediante un ejemplo característico, una idea de lo que sería posible hacer, al menos en ciertos casos, para restituir a una ciencia, mutilada y deformada por las concepciones profanas, su valor y su alcance reales, a la vez desde el punto de vista del conocimiento relativo que ella representa directamente y desde el del conocimiento superior al cual es susceptible de conducir por transposición analógica."

Y finaliza con estas palabras:

"Hay que decir por otra parte que las matemáticas, más que cualquier otra ciencia, suministran así un simbolismo muy particularmente apto para la expresión de las verdades metafísicas, en la medida en que éstas pueden ser expresadas, como han podido darse cuenta aquellos que han leído algunas de nuestras anteriores obras; por eso este simbolismo matemático es de un uso tan frecuente, ya sea desde el punto de vista tradicional en general, ya sea desde el punto de vista iniciático en particular. Unicamente, se da por supuesto, que para que esto pueda ser así es necesario antes de nada que esas ciencias sean liberadas de los errores y de las confusiones múltiples que han sido introducidos en ellas por las miras falseadas de los modernos, y nos sentiríamos dichosos si el presente trabajo pudiese al menos contribuir en cierta manera a este resultado."

Puede que Les Principes du calcul infinitésimal, al recobrar y "poner en su sitio", como acabamos de ver, los principios sobre los que se sustenta toda verdadera ciencia, en este caso la de las matemáticas, haya contribuido ya en cierta medida a liberarla de esos errores y confusiones que tan bien señala, ayudando de alguna manera a descubrir una matemática "nueva", no sólo verdaderamente lógica sino sobre todo de un alcance que va mucho más allá de la propia ciencia.